Crible quadratique

o` celui qui a u obtient le plus grand total gagne, on vous propose de choisir entre le d´ ` douze faces et ea les deux d´s ` six faces. Quel est votre choix ? e a e e Exercice 1.3.7. Soient A1 , A2 , ..., An des ´v´nements. Montrer la formule du crible (ou formule de Poincar´) e n n P i=1 Ai = k=1 (−1)k+1 pk o` u pk = 1≤i1 |y|, P(X = x, Y = y) = 0. En utilisant la formule de la loi marginale, on en d´duit que e |x|P(X = x) = ≤ |x|P(X = x, Y = y) |y|P(X = x, Y = y) = |y|P(Y

ensemble. 13 Introduction Cardinal de la réunion de deux ensembles Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B) ; Si A ∩ B = ∅, Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B). Formule qui se généralise à 3, 4, n ensembles sur le modèle de la formule du crible, voir § 7.1.2, où on remplacera les « P » par des « Card ». 4.3 Nombre de parties d’un ensemble Théorème • Soit k, n ∈ N, 0 k n. Le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments est égal à : n n! = k! (n − k)! k • Le nombre de parties

ensemble. 13 Introduction Cardinal de la réunion de deux ensembles Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B) ; Si A ∩ B = ∅, Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B). Formule qui se généralise à 3, 4, n ensembles sur le modèle de la formule du crible, voir § 7.1.2, où on remplacera les « P » par des « Card ». 4.3 Nombre de parties d’un ensemble Théorème • Soit k, n ∈ N, 0 k n. Le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments est égal à : n n! = k! (n − k)! k • Le nombre de parties

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 112 114 116 116 117 119 41 Dualité 119 42 Sommes directes 123 V 124 Algèbre bilinéaire 43 Produit scalaire 124 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 130 45 Formes quadratiques 133 46 Transformations orthogonales 136 47 Endomorphismes auto-adjoints 140 48 Problèmes matriciels 146 49 Espaces vectoriels hermitiens 149 VI 152 Fonctions d’une variable 50 Fonctions continues 152 51 Fonctions monotones 155

nettement plus difficile. C’est le probl`me de la factorisation. e 1.4 D´coder, d´chiffrer, attaquer e e 99 Bien qu’il puisse s’exprimer de mani`re relativement simple, il n’a pas, juse ´ qu’` pr´sent, de solution vraiment efficace (le c´l`bre crible d’Eratosth`ne, a e ee e par exemple, est inutilisable pour des nombres de plus de 10 chiffres). La difficult´ de ce probl`me et l’efficacit´ des m´thodes d’attaque sont tr`s e e e e e importantes, car beaucoup de fonctions ` sens unique reposent sur la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 41 Dualité 42 Sommes directes 103 107 V Algèbre bilinéaire 108 108 113 116 118 121 127 128 43 Produit scalaire 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 45 Formes quadratiques 46 Transformations orthogonales 47 Endomorphismes auto-adjoints 48 Problèmes matriciels 49 Espaces vectoriels hermitiens VI Fonctions d’une variable 131 131 134 136 139 50 Fonctions continues 51 Fonctions monotones 52 Fonctions usuelles

broyage avec séparation, le produit surdimensionné est retourné pour être broyé à nouveau (le phosphate brut subit un criblage, le passant est livré vers la cuve d’attaque, le refus est envoyé au broyage pour être acheminé ensuite vers les quatre cribles), ce procédé a une cadence de 90 t/h. Unité attaque filtration : Figure : Schéma de processus But : Cette unité a pour rôle la production d’acide phosphorique à 29% en P2O5. Deux procédés sont utilisés : Rhône-Poulenc, Revamping. Ces procédés sont

« contrôle » est tellement utilisé que chacun lui donne un sens un peu différent. Il paraît donc utile de commencer par rappeler ses définitions officielles : Selon la norme NF X 50-120 : Contrôle – Actions de mesurer, examiner, essayer, passer au crible une ou plusieurs caractéristiques d’un produit ou service et de les comparer aux exigences spécifiées en vue d’établir leur conformité. Selon l’ISO 9000 (2008) : Évaluation de la conformité par observation et jugement accompagné si nécessaire de mesures

contiguës à des radiations dangereuses (l’infrarouge et l’ultraviolet). Le vert serait ainsi une couleur « sure », placée au centre du spectre (Wilson, 1966 ; p 949). L’activation physiologique (arousal) à la longueur d’onde suivrait ainsi une fonction quadratique (courbe en U). Cette affirmation se trouva confortée trente ans plus tard lorsque des enregistrements unitaires de neurones des aires V1, V2 et V4 semblèrent apporter « un fondement physiologique pour [expliquer] la saillance accrue de contours

divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6. On aurait ´egalement pu ´eviter les divisions par 4 et 6 si on savait par avance que ces nombres ´etaient compos´es. ´ La remarque pr´ec´edente nous am`ene `a la m´ethode suivante, appel´ee crible d’Eratosth` ene pour lister tous les nombres premiers entre 1 et n : on ´ecrit `a la suite les uns des autres tous les entiers compris entre 2 et n. On entoure le premier 2 et on barre tous ses multiples (i.e. tous les nombres pairs). On entoure ensuite