Critère de convergence des séries alternées

x) 1. Décomposer f (x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] − 1; 3[ telle que G(1) = 0. On pose f (x) = 2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence. 3. Déduire de ce développement la valeur de G(3) (0). Corrigé exercice 2 1 . (x + 1)2 (3 − x) 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : 1 1 1 1 1 1 + × + × × . f (x) = 2 16 x + 1 4 (x + 1) 16 3

général tend vers 0. 1 – Si z ∈ C, la série géométrique +∞ z n converge ⇔ |z| < 1. Elle a alors pour somme 1−z · n=0 – Le théorème de comparaison des séries à termes positifs : si un et vn sont deux séries à termes positifs avec ∀n, 0 un vn , vn converge ⇒ un converge ; un diverge ⇒ vn diverge. 1 converge ⇔ α > 1. – Le théorème de convergence des séries de Riemann : si α ∈ R, ζ(α) = nα – Toute série absolument convergente de C est convergente. – Le théorème de décomposition en base B 2 : pour tout réel

Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 2.6 Dérivation 2.7 Intégration 2.8 Équations différentielles 2.9 Séries 2.10 Séries entières 2.11 Suites et séries d’applications 27 27 31 32 34 35 38 41 44 47 51 52 VI Table des matières 2.12 Séries de Fourier 2.13 Fonctions de plusieurs variables 3. Géométrie 3.1 Courbes du plan 3.2 Propriétés métriques des courbes Chapitre 2 : Physique 57 58 59 59 64 65 0. Éléments de mathématiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 21 Convergence des suites et séries 5.1 Espaces vectoriels normés . 5.2 Familles sommables . . . . . 5.3 Séries numériques . . . . . . 5.4 Suites et séries de fonctions 5.5 Séries entières . . . . . . . . . 5.6 Séries de Fourier . . . . . . . 5.7 Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 18.10. Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 36 36 36 37 38 39 26. Séries Entières 26.1. 26.2. 26.3. 26.4. 26.5. 26.6. Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme de deux séries entières . . . . . . . . . Développement en série entière . . . . . . . . . Séries entières usuelles . . . . . . . . . . . . . Série entière solution d’une équ. différentielle 66 66 66 67 67 68 68 19

s’intéresse aux applications possibles de nouvelles techniques informatiques à l’évaluation stratégique d’entreprise. On constate que les réseaux de neurones représentent un domaine particulièrement prometteur en analyse multicritère et en prévision de séries chronologiques. On examine alors la question suivante : dans quelle mesure peut-on explorer et utiliser au profit de l’entreprise ces nouvelles techniques issues des récents progrès réalisés en informatique ? Dans un premier temps, on présente une

Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre Systèmes différentiels Séries numériques Suites de fonctions Séries de fonctions Analyse en 30 fiches 6 12 16 22 26 32 36 42 46 50 56 62 68 74 82 88 92 100 104 110 114 Séries entières Séries de Fourier Topologie de Rn Fonctions de plusieurs variables Calcul différentiel Optimisation d'une fonction de plusieurs variables Fonctions définies

paramètre. e) Intégrales impropres. 3. séries a) Séries de nombres réels ou complexes : séries convergentes, divergentes, absolument convergentes ; critère de convergence de Cauchy ; convergence d’une série absolument convergente ; 35 séries à termes positifs ; emploi des relations de comparaison pour l’étude de la convergence ; séries alternées ; convergence d’une série alternée ; majoration du reste ; opérations sur les séries. b) Suites et séries de fonctions : les fonctions considérées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales 1.3 Les Séries de 9 Énoncés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Du mal à démarrer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 11.3.3 Suites définies par un+2 = aun+1 + bun 12 Séries 12.1 Séries numériques . . . . . . . . . . . 12.1.1 Généralités . . . . . . . . . . 12.1.2 Séries géométriques . . . . . . 12.1.3 Séries à termes positifs . . . . 12.1.4 Séries alternées . . . . . . . . 12.1.5 Séries absolument convergente 12.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . 12.2.1 Fonctions périodiques . . . . . 12.2.2 Coefficients de Fourier . . . 12.2.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .