Critère de convergence des séries alternées

rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n . Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n

trigonométrique est γ : , y = sin t t variant de 0 à 2π. Cette paramétrisation est de classe C1 puis x2 2π ω= γ 0 − sin t cos t (− sin t) + (cos t) 2 t + sin2 t 2 t + sin2 t cos cos 2π dt = 0 1 dt = 2π. Problème : comparaison de convergences Partie I 1. (a) Si f est une fonction définie sur I à valeurs dans R, on pose f ∞ = sup {|f(x), x ∈ I} ( f ∞ est élément de [0, +∞]). La série de fonctions de terme général fn , n ∈ N, converge normalement sur I si et seulement si pour tout n ∈

Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices Sylvie Guerre-Delabrière Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie Table des matières 1 Quelques éléments de logique 1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . 1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] 1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Intégrale impropres 27 2.1 La convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Intégrales impropres des fonctions à signe constant . . . . . . . . . . . . 28 12.2.1 Critère de la convergence majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Critère de la convergence dominée . . . . . . . . . . . .

26 Séries à termes réels positifs. Applications Les généralités sur les séries numériques sont supposées acquises (chapitre 25), y compris la notion de convergence absolue. 26.1 Séries à termes réels positifs Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire : – soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; – soit cette suite n’est pas majorée et lim

. 28 24.6. Int. par parties et chang. de variable . 29 24.7. Sommes de Riemann . . . . . . . . . . 29 29 25. Intégrale généralisée 25.1. Convergence . . . . . . . . . . . . . . . 29 25.2. Fonctions positives . . . . . . . . . . . 29 25.3. Théorème des 3 conditions . . . . . . . 29 25.4. Int. par parties et chang. de variable . 30 25.5. Un procédé de convergence . . . . . . 30 25.6. Continuité et dérivation sous . . . . . 31 25.7. Ensemble de définition . . . . . . . . . 31 31 26. Intégrales doubles

année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 Suites de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 83 86 Séries de fonctions 2e année Différentiabilité 2e année Séries entières 2e année Extremum

année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 83 Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 86 89 Séries entières 2e année

Exo7 Séries entières Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 ** Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n

. . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement des fonctions croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs premières d’un