Densité de probabilité

P´nurie = D − S e SM = S − 2 Dans le cas de la rotation nulle au lieu de prendre SM on prend le stock r´siduel qui est ´gal ` : R = S −D et donc dans le cas d’une demande discr`te e e a e S Ip (S) = (S − D)P roba(D) D=0 o` P roba(D) est une probabilit´ ` d´terminer. Soit X la variable al´atoire u ea e e (v.a) suivie par la demande. P roba(D) = PX (D) = P (X = D) 9 Modélisation Problème Modèle Résolution Sur le problème Interprétation Décision Solution Figure 1 – mod`le e 10

d’affixe 2. z−i soit réel. z−2 z−i z−i réel ⇔ z = i ou arg = 0 + 2kπ ou arg z−2 z−2 − − → → Ce qui équivaut à M = A ou MB, MA = 0 + 2kπ ou π + 2kπ (avec M = B). E est donc la droite (AB) privée du point B. z−i z−2 = π + 2kπ (avec z = 2). 9 Probabilités 9-1 Généralités Lors d’une expérience aléatoire : • L’univers Ω est l’ensemble des résultats possibles. • Un événement A est une partie de l’univers. • Un événement élémentaire est un événement ne comportant qu’un seul élément. • L’événement

définitions : En général, les risques résultent du croisement entre la probabilité qu’un phénomène destructeur se produise et les dommages possibles que ce phénomène pourrait entrainer sur les biens et les personnes. Ce risque est évalué sur une zone géographique précise. 1.1.1. L’aléa : Il recouvre tout ce qui est phénomène potentiellement destructeur, quelque soit le type de risque. Ces phénomènes sont exprimés sous une forme de probabilité. L’aléa crue : dans un endroit donné est caractérisé par une

(Attention la r´ponse d´pend de la valeur du coefficient de corr´lation) e e e 2. Quelle est le point d’intersection des deux droites (faites les calculs) ? 31 Chapitre 3 Rappel sur le calcul des probabilit´s, e les variables al´atoires, et l’inf´rence e e statistique 3.1 3.1.1 Probabilit´s e ´ e Ev´nement Une exp´rience est dite al´atoire si on ne peut pas pr´dire a priori son r´sultat. On note ω un r´sultat e e e e e possible de cette exp´rience al´atoire. L’ensemble de tous les r´sultats

particulièrement bien réussi. Hormis les personnages particulièrement attachants, on peut vraiment se plonger dans ce scénario qui peut- être arrivera un jour, car oui, la faille de San Andres ne s’est pas ouverte depuis plus d’un siècle et aujourd’hui la probabilité qu’elle s’ouvre, et que cela déclenche un énorme séisme, est plus que jamais d’actualité.San Andreas est un film américain réalisé par Brad Peyton, sorti en 2015 et produit par Beau Flynn. La société de production de ce film est Flynn picture company

fonctions à valeurs positives. Proposition 1. Si α : Rd → R+ est mesurable d’intégrale 1, alors αn(x) = ndα(nx) définit une approximation de l’unité. Autrement dit, on obtient une approximation de l’unité en renormalisant n’importe quelle densité de probabilité. Exercice 2. Soit f : Rd → C et soit (αn) une approximation de l’unité. Lorsque cela a un sens, on posera αn ∗ f(x) = ∫ Rd f(x− y)αn(y)dy . 1. On suppose que f est continue bornée sur Rd. Montrer que αn ∗ f est bien définie et que αn ∗ f tend

51 54 54 56 60 65 67 69 69 70 73 75 2 3 Int´ gration : quelques compl´ ments e e 3.1 Ensembles n´ gligeables et compl´ tion de tribus . . . . . e e 3.2 Th´ or` me de convergence domin´ e : la version d´ finitive e e e e 3.3 Les mesures avec densit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Les fonctions int´ grables au sens de Riemann . . . . . . e Produits de mesures 4.1 Quelques r´ sultats d’unicit´ . . . . . . e e 4.2 Produit d’espaces mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . .

de distributions continues Répartition des salaires des agents de la fonction publique en 1986 d'après l'INSEE (salaire annuel net en milliers de francs) Hommes Fréquence cumulée Fonction de Centre de Salaire Classe Amplitude Effectifs Fréquence Densité Croissante Répartition 30-60 45 30 61179 4,5 1,5 4,5 1,5 60-70 65 10 133233 9,8 9,8 14,3 11,3 70-80 75 10 258310 19 19 33,3 30,3 80-90 85 10 171300 12,6 12,6 45,9 42,9 90-100 95 10 146829 10,8 10,8 56,7 53,7 100-110 105 10 149548 11 11 67,7 64,7 110-120

Quelques r´eflexions sur la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 L’interpr´etation du seuil de confiance α . . . . . . . . . . . 6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ) . . . . . . . 6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´e . . . . . . . . . . 6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance . . . . . . . . . . . 6.2.4.1 Un exercice de backtesting . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la 6.2.5 Le probl`eme du scaling .

face à une crise majeure. Son spread a augmenté et vaut maintenant 1000 bp. L'acheteur B de la protection retourne sa pose dans le marché avec C. Combien l'acheteur B a-t-il gagné ou perdu d'argent dans cette opération ? 3. Estimez la nouvelle probabilité de défaut annuelle de la contrepartie X. 1 Les dates de paiement de la jambe de prime sont donc semestrielles. 2 -1254.60 -768.54 -601.87 -497.66 -405.72 -351.56 -287.89 -227.15 -203.05 -172.62 -130.19 -60.38 -10.32 13.38 55.18 80.47 133