Dérivabilité

difficiles, on cherche souvent uniquement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.L'analyse étudie des équations du type f(x) = 0, où f est une fonction ayant certaines propriétés comme la continuité, la dérivabilité ou encore le fait d'être contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi précisément que possible. Un système dynamique est défini

éventuellement la prolonger on a tend vers l’infini. Ce résultat signifie que si l’on trouve un moyen d’obtenir un développement limité, le polynôme obtenu est « le bon ». Or la formule de Taylor nous fournit pour une fonction possédant des propriétés de dérivabilité suffisante un tel développement limité. En effet nous avons vu que Quand tend vers la limite du terme de droite est nulle quand Mieux que cela, on peut écrire pour tend vers La limite du terme de droite reste nulle quand tend vers On

népérien et est notée ln. Propriétés immédiates La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[. ln 1 = 0 ; ln e = 1. La fonction ln est strictement négative sur ]0, 1[ et strictement positive sur ]1, + ∞[. III - Courbes représentatives. Dérivabilité de la fonction ln Les courbes représentatives des fonctions ln et exp dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la première bissectrice. La fonction ln est dérivable dans ]0, + ∞[ et (ln)’ (x) = 1x pour x > 0 IV - Propriétés

déduire le signe de g sur ] 0 ; +∞ [. 4. Etablir la relation ln (α) = -1 - α. II. On considère la fonction f définie par :  xlnx 1 + x si x > 0  f (x ) =    0 si x = 0  1. Montrer que f est continue en 0 puis sur ] 0 ; +∞ [. 2. Étudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. 3. Déterminer la limite de f en +∞. 4. Montrer que, quel que soit x élément de ] 0 ; +∞ [, f ' (x) = g(x) . (1 + x)2 En déduire le signe de f ’(x) sur ] 0 ; +∞ [. 5. Montrer que f (α) = -α . 6.

la valeur de f'(3). 2°) Soit a ∈ [0 ; +∞[. Étudier la dérivabilité de f en a et donner, s'il existe, le nombre dérivé de f en a . 3°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur tracer la représentation graphique de f. Que peut-on dire de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ? Exercice 13 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3x - 5 . Soit x0 ∈ IR. Étudier la dérivabilité de f en x0 et donner, s'il existe, le nombre dérivé en

indifféremment ℓ = lim f , ℓ = lim f (x ) ou f (x )  ℓ pour signifier que ℓ est la → x →x 0 x0 x →x 0 limite de f en x 0 . Nous admettons les résultats « intuitifs » d’opérations sur les limites et de comparaison de limite. c) continuité et dérivabilité Déf : Une fonction f : I → ℝ est dite continue ssi pour tout a ∈ I , lim f (x ) existe et vaut f (a ) . x →a Théorème : Soit f : I → ℝ une fonction continue et a ≤ b ∈ I . Tout réel compris entre f (a ) et f (b ) possède un antécédent par

demi-droite ] IA ) Exercice 5. a. Soit f la fonction définie par f ( x ) = x – 1 + 9 x–2 Déterminer le domaine de définition Df de f. f ( x ) existe si et seulement si x – 2 ≠ 0, soit x ≠ 2. On a donc Df = I – { 2 } R b. Etudier la dérivabilité de la fonction f et donner sa fonction dérivée. f(x)= ( x – 1 )( x – 2 ) + 9 x² − 3 x + 11 = x–2 x–2 Comme f est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son domaine de définition, soit sur I – { 2 } R Posons f ( x ) = u(x) v(x)

d'une fonction obtenue par opérations algèbriques et composition à partir des fonctions usuelles et d'en déduire le sens de variations de la fonction. Dérivabilité en un point, nombre dérivé. Interprétation géométrique : tangente au graphe en un point. La dérivabilité entraine la continuité. Dérivabilité à gauche, à droite. Dérivabilité et dérivée sur un intervalle. Opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées : combinaison linéaire, produit, quotient. Dérivée d'une fonction

fonction définie par  et (C h ) sa courbe représentative. 1) Montrer que h est continue en 0. x 2 x3 x2 − ≤ e− x ≤ 1 − x + 2 6 2 −x 1 1− e − x x 1 a) Déduire de (1) que − ≤ ≤ − 2 6 2 x2 2) On admet que ∀x ∈ ]−∞;0[ , 1 − x + (1) b) Etudier la dérivabilité de h en 0. 3) Calculer la limite de h(x) et h(x) quand x tend vers −∞ puis interpréter graphiquement le x résultat. 4) a) Etudier les variations de la fonction g définie sur ]− ∞;0[ par : g(x) = (x + 1)e− x − 1 puis en déduire que ∀x ∈ ]−∞; 0[

peut dire que la fonction est dérivable à droite, et qu’elle est aussi dérivable à gauche, ces deux dérivées étant différentes. La courbe admet aussi une demi-tangente à droite et une demi-tangente à gauche, de pentes 1 et -1. Continuité et dérivabilité On dispose de cette propriété : Si une fonction est dérivable en x0, alors elle est aussi continue en ce point. 2 Mais l’inverse n’est pas vrai, comme le montre l’exemple précédent de la fonction valeur absolue. Dérivées usuelles Toutes les