Dérivabilité

inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique à variable réelle. Notion de continuité. Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Dérivabilité. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Applications : Fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques et fonctions réciproques. Formule de Taylor. Développements limités. Etude de courbes planes en coordonnées paramétriques

Remarques : Il est possible qu'une fonction f ne soit pas dérivable en une valeur a. Les fonctions x→√ x et x→∣x∣ ne sont pas dérivable en 0. Exercice résolu n°1 p.117 Ex 7,9 et 11 p.128/129Capacité 4 : Étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle Définition : dérivabilité d'une fonction sur un intervalle Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ . On dit que la fonction f est dérivable sur I si et seulement si f est dérivable en toute valeur a de I. Exercice résolu 2 p.117

Quit&d-Pinon (1993) p. 286) : f(t,T)=f(O,T)+j; ‘“!$T)di(u)+j;o(u,T)[‘o;T)],u et : 256 5TH AFIR INTERNATIONAL COLLOQUIUM (3) En faisant I’hypothese que la structure de volatilite depend sculcment dc la maturitC et avec des hypotheses techniques de derivabilite, on montre aussi que (Kerfriden et Rochet (1993) ) : r(t)=$(lnP(0,t))+~02(t)+~~o’(t-u)di(u) Les seuls cas oh l’on obtient pour r un processus markovicn sont ceux oh la volatilite est le produit dune constante par la maturitc : o(t,T)=o*(T-t)

complexes. Les encadrements éventuels s’effectueront sur les modules. On a par exemple encore le résultat fondamental suivant : C) Continuité et dérivabilité. 1) Définitions. La notion de limite étant maintenant bien précisée pour les fonctions à valeurs complexes, les définitions fondamentales de continuité et de dérivabilité se généralisent naturellement. On dira qu’une fonction f à valeurs dans C est continue en un réel x0 de son ensemble de définition I si et seulement si f

intégrable si et seulement si elle est continue la mesure de Lebesgue sur R, et presque partout sur [a; b], où désigne (b) si f est Riemann intégrable, alors elle est Lebesgue intégrable et les deux intégrales coïncident. 6.4 Continuité et dérivabilité sous le signe On s’ intéresse maintenant a deux théorèmes très importants concernant les intégrales dépendant d’ un paramètre. R Théorème 5 (Continuité sous le signe ) Soient (X; A; ) un espace mesuré, E un espace métrique, t0 2 E et f : X E

un point à partir de la définition de la dérivée. Interprétation et représentation graphique de la dérivée d’une fonction en un point. Calcul de la dérivée d’une fonction à partir de la définition de la fonction dérivée. Détermination de la dérivabilité d’une fonction en un point ou sur un intervalle à partir de la définition de la dérivée ou à partir du graphique de la fonction. Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 15% 022X 1, 2, 4; 022N 1, 2. Démonstration des principales règles

de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes nécéssaires pour obtenir un encadrement de x de largeur 10−p. Il est simple à mettre en oeuvre et présente l’avantage de n’exiger que la continuité (et pas la dérivabilité) de la fonction étudiée. Mais il a l’inconvénient de n’être utilisable que pour des solutions d’équations réelles. corrigé succint : La largeur de l’intervalle au bout de l’itération n est (b − a)/2n , et on veut donc (b−a)/2n ≤10−p,soitencore2n

mails cliqués qui ont permis une vente. FAI: Fournisseur d’accès Internet. Taux de réactivité: c’est le taux de clics divisé par le taux d’ouverture. Tracking: suivre les emails afin de savoir s’ils ont été ouverts, supprimés, cliqués, etc. Dérivabilité: appelée aussi délivrabilité, capacité d’un mail à être transmis au destinataire. Spam: ou pourriel, message reçus non sollicité, souvent à caractère publicitaire. WYSIWYG: «what you see is what you get», interface utilisateur permettant de faire

Exercice 1984 On considère la fonction : √ f : x → −2x2 + 7x − 3 1. Montrer l’égalité suivante : (2x − 1)(3 − x) = −2x2 + 7x − 3 2. a. Etudier le signe de −2x2 + 7x − 3 en fonction de la valeur de x. b. En déduire l’ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction f . 3. Donner l’expression de la fonction dérivée de la fonction f. 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f . 

vectoriels en dimension finie, Applications linéaires, Matrices, Polynômes et fractions rationnelles, Systèmes linéaires et méthodes de Gauss. Analyse : L’ensemble des réels, Suites numériques, Fonction d’une variable réelle (limite, continuité et dérivabilité), Fonctions classiques (Fonctions réciproques, hyperboliques, ….), Formules de Taylor, Calcul des primitives et intégral. Biologie Générale [20H C + 8H TD / 20H C+ 6H TD+28H TP / 16H C+4H TD] Introduction à la biologie cellulaire et caractérisation