Dérivabilité

a = -1 . Exercice : Étudier la dérivabilité de la fonction carré, inverse, racine carrée. Fonction Expression Nombre dérivé en a Remarque Constante f (x )=k f ' (a)=0 k une constante Identité f ( x)=x f ' (a)=1 Carré f ( x)=x 2 f ' (a)=2 a Cube f ( x)=x 3 f ' (a)=3 a 2 Racine carrée f ( x)=√ x Inverse f ( x)= 1 x f ' (a)= 1 2 √a f ' (a)=− 1 2 a Démonstrations : Démontrer que la fonction carré est dérivable sur ℝ . Étudier la dérivabilité des fonctions racine carrée et inverse

solutions dans ℂ de l’équation z2-4z+5=0 sont a)z1et z1 b)z2et z2 c)z1et z2 II) Dans chacun des cas suivants déterminer le domaine de dérivabilité de f et sa fonction dérivée f a)fx=x3+x b) fx= x2+1 c)fx=1x2+x+1 d)fx=xx2+1 Exercice 2(7 Points) Soit la fonction f définie sur R par fx=x2+3x-1x-1 si x≤0. fx=x3+12x2-2x+1 si x>0

2. Dresser le tableau de variation de sur . 3. Signe de sur . a) Montrer que la fonction est strictement négative sur . b) Montrer que la fonction s’annule pour un unique réel de . Soit ce réel. c) En déduire le signe de la fonction sur . 5. Dérivabilité à droite de en 0 a) i) Soit la fonction définie sur par : . Étudier le sens de variation de la fonction sur ; puis dresser le tableau de variation de la fonction sur . En déduire le signe de appartenant à . ii) Soit par : sur . pour la fonction

Exercice: On veut étudier la position relative des graphes des fonctions: f(x) = [pic] et lnx a) Déterminer le domaine de définition de la fonction g(x) = [pic] - lnx b) Déterminer le domaine de dérivabilité de g et déterminer g’(x) c) Dresser le tableau de variation de g (on admet provisoirement que [pic]g(x) = ) d) Conclure 7) Autres limites à connaître: a) Déduire du 6) que

Microsoft Word - Q1 Dérivabilité d'une fonction.docx 1 1. Dérivabilité d’une fonction Présentez la notion de dérivée f ' x0( ) de f en x0 et interprétez cette notion. Illustrez vos propos par des exemples. On aimerait pouvoir connaître la pente de la droite tangente T en un point quelconque d'une courbe car elle nous permet de savoir comment se comporte la courbe en ce point (comportement local). Soit f une fonction définie au voisinage de x0 . Prenons le point fixe x0; f (x0 )(

la lettre correspondant à la réponse chois sur l’annexe joignant qui sera rendu avec la copie. Partie A : aucune justification n’est demandée On note f ' la fonction dérivé de la fonction f, fg '(x0) désigne la dérivabilité de f à gauche de x0 et fd '(x0) désigne la dérivabilité de f à droite de x0 1. Quelle est la valeur de f '(0) ? a. f '(0) = 1 b. f '(0) = 0 c. f '(0) = -1 2. Quelle

(continuité) f : [a, b] × E → K qui à (t, x) → f (t, x) ; E ⊂ R ∫ b 1. f continue =⇒ F (x) = f (t, x)dt est continue dans E a 2. Soit u, v : E −→ [a, b] 2 fonctions : ∫ v(x) f, u, v continues =⇒ F (x) = f (t, x)dt est continue dans E u(x) Théorème 0.8 (dérivabilité) Soit f : [a, b]×]α, β[→ K qui à (t, x) → f (t, x) ; −∞ ≤ α < β ≤ +∞. On suppose : i) f continue dans [a, b]×]α, β[ ∂f ii) (t, x) existe et est continue dans [a, b]×]α, β[ ∂x ∫ b Alors : F (x) = f (t, x)dt est dérivable dans ]α, β[ et on a F

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 10 11 13 14 16 17 18 Deuxième semestre Nombres réels et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . Limites, continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . A - Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes

cos π 2 + x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − sin x et sin π 2 + x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = cos x 4) cos π 2 − x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = sin x et sin π 2 − x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = cos x Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 4 III. Dérivabilité et variations 1) Dérivabilité Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 et on a : cos'(0) = 0 et sin'(0)=1. - Admis - Théorème : les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ! et on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) =

On note C sa courbe représentative dans un repère. 1) Déterminer l'ensemble de définition de f. 2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à la courbe C. 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur [pic] donc la fonction f est définie pour [pic]. On dresse