Dérivabilité

aux bornes de Df et étudier les branches infinies de (C f).(01 + 0,5 pt) C c) Etudier la position de (C f ) par rapport à l’asymptote non parallèle aux axes dans ] ∞, 0 . C (0,25 pt) 2) a) Etudier la continuité de f en 0. (0,25 pt) b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement les résultats. (0,25 + 0,25 pt) 3) Déterminer la dérivée de f et dresser le tableau de variations de f. (0,5 + 0,5 pt) 4) Construire dans le repère les asymptotes, la courbe (C f) et les demi-tangentes. On

. . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Dérivabilité 29 5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Accroissements finis

Chapitre 2 Pré-requis admis : , il existe un unique isomorphisme continu de groupe entre et , vérifiant , on notera l’isomorphisme réciproque. On admettra aussi un certain nombre de résultats analytiques concernant ces fonctions (continuité, dérivabilité, limites etc.). Digression : pour a = 0, il faudrait avoir , et donc , et donc ne serait pas injectif. Même chose et même démonstration pour a = 1, ce qui explique que ces deux cas soient exclus. On peut remarquer que pour un nombre entier

est un nombre irrationnel. Une valeur approchée est e ≈ 2,718. LA fonction exponentielle est UNE fonction exponentielle (celle de base e). Elle possède donc toutes les propriétés de ces fonctions : relation fonctionnelle, continuité, mais aussi dérivabilité. Propriété : La fonction exponentielle est égale à sa dérivée. Autrement dit, quel que soit le nombre x, exp’(x) = exp(x) = ex. Démonstration : (elle sera détaillée en cours) exp(a+h) – exp(a) eh – 1 Soit a ∈ℝ. exp’(a) = lim = ea× lim = ea×exp’(0)

l’approximation linéaire de f(x) au voisinage du point  taux d’accroissement de y (=f(x)) par rapport à x Définition : Soit point intérieur de D. . Si oui (cette limite existe), alors sa valeur est la dérivée en Autre notation : 3.4.2 Dérivabilité à gauche et à droite Définition : f est dérivable à en ssi. Si oui, la valeur de cette limite à donne la dérivée à  f est dérivable en à gauche et à droite et que la dérivée est la même  f est dérivable en Définition : La fonction f

* Elle décrit d’abord les caractéristiques des unités de base de l’économie. Ce qu’on appelle parfois ses fondamentaux : c’est l’étape « technique » qui consiste essentiellement à attribuer un certain nombre de propriétés (monotonie, concavité, dérivabilité etc.) aux fonctions-objectif des unités de base de l’économie (fonction d’utilité pour les ménages et fonction de production pour les entreprises) * Elle préconise ensuite le cadre dans lequel ces unités interagissent, par le biais d’un système

elles permettront à l’examinateur de tester vos connaissances sur des sujets qui lui semblent « normal » de connaître : EXEMPLES : - limites de fonctions usuelles, - limites par croissances comparées, - cosinus et sinus d’angles particuliers, - dérivabilité d’une fonction, - équation de tangente à une courbe, - variations d’une suite, - convergence d’une suite, - formule d’intégration par parties, - primitives et dérivées usuelles, - lois de probabilités, - écriture complexe d’une transformation,

étudiées au lycée. Si vous avez passé votre bac sans lacunes, vous n’aurez rien de spécial à réviser à la rentrée. Toutefois nous vous conseillons de revoir vos formules de trigonométrie, nombres réels, nombres complexes, leçons de continuité, dérivabilité, calcul de limites et d’intégrales. Ainsi que la leçon Majorant Minorant (Hors programme de la 1ère Sc. Maths). Vous pouvez si vous le souhaitez avancer un peu sur votre cours de Sup, c’est une bonne méthode pour ne pas se sentir en retard et

|Exercice 21 | | |Par l’absurde |■ Géométrie dans l’espace | |■ Non dérivabilité | | | |Exercice 9 | |Exercice 22

x ln x x ln x x x ln e −ln ln x =e ln2 x x −ln ln x =e . Par le théorème 1 et le théorème de composition des limites, on en déduit que la limite du quotient ci-dessus vaut 0 en +∞. ♦ Exercice 2 : Étudier la dérivabilité en 0 et 1 de la fonction définie sur [0, 1] suivante :  1 si 0 < x < 1,  exp ln x 1 si x = 0, f (x) =  0 si x = 1. Solution : f est clairement continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[, avec pour tout x ∈ ]0, 1[, 1 f ′ (x) = −