Dérivabilité

  1 +        ˘n t  t sin t et g : t ò@ . t Montrer que f et g sont équivalentes au voisinage de +& et que les intégrales sont de nature différente. Exercice 13 +& 1) Soit x ≥ 0 .Justifier l'existence de f(x) = ⌠ ⌡  sin t t dt , sa dérivabilité pour x > 0 et      x calculer f '(x). +& 2) ⌠  En utilisant des intégrations par parties, montrer que ⌡ f(x) dx est convergente et vaut      0 1. Exercice 14  +&  ⌠ Reprendre l'exercice précédent avec ⌡   ⌠     sin(t2) dt    dx qui vaut

classe C ∞ sur son Démonstration. La continuité de la somme de la série entière est une consé- quence immédiate de sa convergence normale. Le rayon de convergence de la série dérivée est donné par le théorème d'Hadamard. Pour la C−dérivabilité : soient r < ρ, z ∈ Dr Soit f (z + h) h∈D > 0 et tel que |z| + . Alors n = an (z + h) n≥0 = k Cn hk z n−k an n≥0 0≤k≤n   an z n + nhz n−1 + = n≥0 k Cn hk z n−k  2≤k≤n

équivalente de dérivée est souvent utile dans les calcules des dérivées elles mêmes et elle sera utilisée dès que nécessaire. lim De l’unicité de la limite il résulte que si la dérivée de f en a existe, alors elle est unique. De plus, la propriété de dérivabilité est une propriété locale et on dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. Dans ce cas, on définit sur I l’application dérivée de f , notée f , comme : f : x ∈ I → f (x). 30 4. FONCTIONS D’UNE VARIABLE RéELLE Signification

fonction Une étude de fonction comporte la recherche du domaine de définition, la recherche éventuelle de parité, l’étude de la continuité, de la dérivabilité, le calcul de la dérivée, la recherche du signe de la dérivée pour donner le sens de variation, le calcul des limites. Cette étude se conclut en un tableau de variation. 2. Continuité/dérivabilité Pour montrer qu’une fonction f est continue (resp dérivable) sur un intervalle I contenant un point a, on montre qu’elle est continue (resp dérivable)

en dessous » de D. pour x = −1, f(x) − 2 = 0 et donc Cf et D se coupent en A(−1 ; 2) 8x² - x + 1 8x² - x + 1 - 8x² - 2 -x-1 −2= = qui a le signe de −x − 1 puisque 4x² + 1 4x² + 1 4x² + 1 x→+∞ x→-∞ 2. méthode : après avoir donné le domaine de dérivabilité de f, on calcule sa dérivée et on en étudie le signe. on s’assure que les variations obtenues sont cohérentes avec les limites trouvées !!! f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son domaine IR. f’(x) = (8x² - x + 1)'(4x² +

point ainsi que celles de limite à gauche et de limite à droite ; • présenter les opérations sur les limites ; • calculer les limites simples ; • étendre la notion de limite aux limites infinies et aux limites en l’infini ; • définir la dérivabilité d’une fonction en un point, l’équation de la tangente en ce point ; • définir la fonction dérivée d’une fonction ; • connaître la dérivée des fonctions élémentaires (polynomiales, inverse, racines, logarithme naturel, exponentielle)

loi à une distribution statistique observée II - Mathématiques Algèbre linéaire • Calcul matriciel • Systèmes linéaires • Déterminants • Valeurs propres, vecteurs propres. Analyse mathématique • Fonctions d’une variable - Limites, continuité, dérivabilité, intégration - Etude des variations et représentations graphiques - Optimisation, convexité - Suites numériques, suites arithmétiques, géométriques, suites récurrentes linéaires • Fonctions de plusieurs variables - Dérivées partielles - Optimisation

1. a. Étudier le sens de variation de f. b. En déduire la résolution de l’inéquation f(x) &gt; 0. (Variations 1ère, chapitre 6, n°56 et 61, Hatier, 2019) Exercice 6 Dans chacun des cas suivants déterminer l’ensemble de dérivabilité de f puis f 0(x). &#120783;. D8 = ℝ. f(x) = 3 + x$ + 1 x + √x + e # &#120784;. D8 = ℝ. f(x) = x$ × e# &#120785;. D8 = ℝ. f(x) = 1 2 + e# &#120786;. D8 = ℝ. f(x) = e# 2 + e# &#120787;. D8 = ℝ. f(x) = e1#*/ (Énoncé personnel

définie et dérivable sur I et telle que pour tout x ∈ I , on ait F ′ ( x ) = f ( x ) . Les primitives sont définies « à une constante près » Page 3/7 jgcuaz@hotmail.com Fonction x ֏ k, k ∈ ℝ x֏x Domaine de définition de f Domaine de dérivabilité de f ℝ Définie et dérivable sur ℝ Définie et dérivable sur [ 0;+∞[ Fonction dérivée x֏0 x ֏1 x ֏ α xα −1 1 x2 Fonction x ֏ k ,k ∈ℝ x֏x Primitive x ֏ kx 1 x ֏ x2 2 xα +1 x֏ α +1 ℝ ℝ Intervalle d’existence x ֏ xα 1 x si α >

Suites et séries de fonctions. Suites de fonctions ; convergence simple ; convergence uniforme ; continuité, dérivabilité et intégrabilité de la limite d’une suite de fonction. Séries de fonctions ; convergence simple, absolue, normale, uniforme, continuité, dérivabilité et intégrabilité de la somme d’une série de fonctions. Chapitre 3 : Séries entières. Rayon de convergence. Continuité, dérivabilité et intégrabilité de la somme d’une série entière. Développement en séries entières. Chapitre 4 : Analyse