Dérivabilité

dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Analyse des fonctions réelles 2.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Relations de comparaison . . . . . . 2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Développements limités . . . . . . . 2.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

calculer un , que pour tout entier naturel n, f ( n + 1 ) ≤ un ≤ f ( n ) . c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = ln ( x + 3 ) 2 . a. Justifier la dérivabilité de F sur [ 0 ; + ∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' x ) . ( 2 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Pondichéry, Avril 2007 Sujets de Bac b. On pose, pour tout entier naturel n, In

on a 1+ Soient f, g et h les fonctions définies sur x x2 x3 g ( x ) = f ( x ) − 1− + et h ( x ) = g ( x ) − . 2 8 16 0 ; +∞ x x2 x x2 x3 − ≤ x + 1 ≤ 1+ − + . 2 8 2 8 16 respectivement par f ( x ) = x + 1, Dans l’exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur 0 ; + ∞ . 1 a) Calculer f ���) puis démontrer que, pour tout x ≥ 0, g (x alors les variations de g �� sur 0 ; + ∞ . (x ) = 3 8( x + 1)2 x + 1 . Déterminer b) Calculer

| | |de la fonction dérivée. | | | | |Détermination de la dérivabilité d’une fonction en un point ou| | | | |sur un intervalle à partir de la définition de la dérivée ou à| |

(a, b, c) . Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques Continuité et dérivabilité Maintenant, nous allons décrire des propriétés locales des fonctions, c’est-à-dire nous nous donnons un point x0 ∈ Df et nous étudions f à proximité de ce point. La première notion clé qui se dégage est la suivante : Définition f est dite

∈ I ⇔ ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I \ {x0 }, (|x − x0 | η ⇒ f (x)−f (x0 ) − f (x0 ) ε) où f (x0 ) est la valeur de la dérivée de f en x0 . x−x0 – L’équation de la tangente en x0 d’une fonction dérivable en x0 est : y = f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 ). – La dérivabilité d’une fonction en un point implique sa continuité en ce point. n n n – Si f1 , . . . , fn : I → C sont dérivables, k=1 fk l’est et k=1 n fk = k=1 (n) f1 · · · fk · · · fn . n – La formule de Leibniz : si f, g : I → C sont

est la probabilité pour que six des dix véhicules perdent exactement cinq minutes. Problème 2 : Soit f(x) = x + ( | x² - x | 1) Montrer que f est définie sur ( et donner l’expression de f sans le symbole valeur absolue. 2) Etudier la dérivabilité de f en x = 0 et en x = 1 Interpréter graphiquement ces deux résultats. 3) a) Calculer f’(x) dans les intervalles où f est dérivable. b) Etudier les variations de f 4) a) Calculer lim f(x) – ( 2x – 1 ). Que peut-on en déduire ?

péages. Quelle est la probabilité pour que six des dix véhicules perdent exactement cinq minutes. Problème 2 : Soit f(x) = x + V | x² - x | 1) Montrer que f est définie sur  et donner l’expression de f sans le symbole valeur absolue. 2) Etudier la dérivabilité de f en x = 0 et en x = 1 Interpréter graphiquement ces deux résultats. 3) a) Calculer f’(x) dans les intervalles où f est dérivable. b) Etudier les variations de f 4) a) Calculer lim f(x) – ( 2x – 1 ). Que peut-on en déduire ? b) Donner l’autre

résolu. La connaissance de [pic]permet par intégration de trouver [pic] et une nouvelle intégrale conduit à[pic]. [pic] FILTRES 1 THEOREME DE FOURRIER On démontre dans le cours de Maths sous certaines conditions de continuité et de dérivabilité, toute fonction continue de période T peut s’écrire sous forme d’une suite de Fourrier : [pic] REMARQUE A0 est la valeur moyenne de la fonction f(t). [pic] est une fonction sinusoïdale appelée Harmonique d’ordre n. Par ailleurs : [pic]

tableau de variations de la fonction g . 2. Montrer qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. 3. Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près. 4. Étudier le signe de g sur R. Partie C : Étude de la fonction f 1. Déterminer le domaine de dérivabilité de f . x × g (x) 2. Montrer que, pour tout x ∈ D f , f (x) = 2 . (x − 1)2 3. Dresser le tableau de variations de f . Partie D : Propriétés de la courbe On note : • C f a courbe représentative de f dans un repère orthonormal, • D la droite d’équation