Dérivabilité

mesure de Lebesgue sur Rd , on va pouvoir définir, comme conséquence, une théorie de l’intégration. On construira donc une intégrale à valeurs dans R ou C, puis on comparera avec l’intégrale de Riemann. Enfin, on donnera des théorèmes de continuité et dérivabilité sur les intégrales dépendant d’un paramètre avant d’étudier la fonction Γ d’Euler. 2.1 F ONCTIONS MESURABLES 2.1.1 Définitions et généralités Définition 2.1. Soit (X, M) et (Y, N ) deux espaces mesurables. On dit qu’une application f :

. . . . . . . . Dérivée, classe C 1 . . . Classe C 1 . . . . . . . . Application de classe C k Somme et produit . . . . → 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 33 33 33 34 34 34 35 18. Dérivabilité 18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 35 35 Résumé de cours de Sup et Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert 59200 Tourcoing – http://c

(d’encadrement ou des gendarmes) VI.3.2. — Soient f, g et h trois fonctions numériques définies sur D. Si f et h ont même limite finie ℓ en x0 (avec x0 ∈ R ou x0 = ±∞) et f g h au voisinage de x0 , alors lim g(x) = ℓ. x→x0 Chapitre VII Dérivation VII.1 Dérivabilité en un point Définition VII.1.1. — Soient I un intervalle de R, x0 ∈ I et f : I −→ R une fonction. f (x) − f (x0 ) admet une limite finie en x0 . La fonction f est dite dérivable en x0 si la fonction x −→ x − x0 ′ Cette limite, notée f (x0 ), est

l’idée, en particulier d’avoir une image mentale de la « droite limite » des sécantes en un point, la tangente en ce point. Donc, dans le cours de Première S, on se contentera d’un point de vue intuitif en ce qui concerne la définition de la dérivabilité et de la limite qui intervient dans cette définition. Ce premier chapitre est essentiellement formé des définitions fondamentales et d’exemples. 2. Définitions fondamentales Les activités ont montré dans plusieurs cas l’existence d’une « droite

18ème et 19ème siècle, qui décrivent un monde propre, fait de fonctions quadratiques, de contraintes idéales, et de dérivabilité omniprésente. Le monde réel à explorer est envahi de discontinuités, d'espaces de recherche bruités et multimodaux, ce qui le rend bien moins adapté au calcul. Il n'est donc pas surprenant que les méthodes soumises aux contraintes de continuité et de dérivabilité ne soient adaptées qu'à une classe de problèmes très limitée. ...". Dans le cas des systèmes de production, certaines

tend vers +∞ ? 2 +∞ 0 2.x − 7 x2 − 4 2.x − 4 2.x + 4 4.x − 4 4.x + 4 b) Quelle est la limite de la fonction f (x) = −∞ lorsque x tend vers 2 par la gauche? 2 +∞ b) Parmi les intervalles suivants, lequel est l'ensemble de dérivabilité de la fonction f (x) = 4 − 2.x ? 0 ]−∞; 2[ ]−∞; 2] ]2; +∞[ [ 2; +∞[ c) Quelle est la limite de la fonction f (x) = −∞ 0 6.x 2 + x − 1 3.x 2 + 2 2 lorsque x tend vers −∞ ? +∞ c) Parmi les fonctions suivantes, laquelle

équilibre et marché. Nous ne reviendrons pas sur ce point. Pour les classiques, toute rigidité est défavorable à l'équilibre. Elle provoque soit l'inflation soit le chômage. Sans remettre en cause les hypothèses les plus centrales (continuité, dérivabilité, prévisibilité exhaustivité), nécessaires à sa mathématisation, la théorie néo-classique s'est efforcé de tenir compte des rigidités que nous pouvons constater dans la réalité économique. Tandis que la flexibilité parfaite assure simultanément

69 69 71 71 73 73 74 74 77 77 77 78 79 81 81 81 83 85 85 86 88 11 Continuité 1 Dé…nitions et propriétés algébriques 2 Prolongement par continuité . . . . . 3 Propriétés des fonctions continues . . 4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dérivabilité et fonctions de classe 1 Généralités . . . . . . . . . . . . 2 Règles de calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement …nis 6 Convexité . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 4 6 7 Analyse des fonctions réelles 2.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Relations de comparaison . . . . . . 2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Développements limités . . . . . . . 2.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . .

1  . . −→  x(t) t→t a − → − → − → − → → → → → 0 ı  = a− + b− alors : lim f (t) = ı  Si f (t) = x(t)− + y(t)− et si ⇐⇒ .  y(t) −→ b t→t 0 t→t 0 Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité. DÉFINITION 7.3 . − → − → − → Soit f : I → P une fonction vectorielle et t 0 .un élément de I , on dit que f est continue en t 0 − → − → lorsque lim f (t) = f (t 0 ). t→t 0 − → − → → → Remarque : si f (t) = x(t)− + y(t)− alors il découle