Dérivabilité

c - Séries numériques, critères de convergence des séries numériques positives. d - Suite et séries de fonctions réelles, convergence simple, convergence normale. 5 - Fonctions réelles d’une variable a - Limite, comparaison de fonctions, continuité, dérivabilité. b - Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis. c - Formules de Taylor, développements limités, applications aux calculs de limites et d’asymptote. d - Tableau de variations et représentation graphique. 6 - Intégration a - Intégration

) × cos x = cos2 x − 0, 99 − 2x sin x cos x . On dérive à nouveau en remarquant que f ′ est la somme de x et du produit de x 2x par le produit x cos2 x − 0, 99 sin x cos x . Pour ne pas alourdir la rédaction, on admettra la continuité et la dérivabilité des fonctions sur l’ensemble sur lequel on travaille. Pour x ∈R , f ′′( x ) = −2sin x cos x − 2sin x cos x − 2x ( − sin2 x + cos2 x )            = −4 sin x cos x − 2x cos(2x ) = −2sin(2x ) − 2x cos( 2x ).    π  π Soit x ∈  − ; 0  . On a

Séries numériques, critères de convergence des séries numériques positives ; d) Suite et séries de fonctions réelles, convergence simple, convergence normale. 5 - Fonctions réelles d’une variable : a) Limite, comparaison de fonctions, continuité, dérivabilité. b) Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis. c) Formules de Taylor, développements limités, applications aux calculs de limites et d’asymptote. d) Tableau de variations et représentation graphique. 6 - Intégration : a) Intégration

continuité en 1. En posant f(1) = 5 , calculons lim x-+ f(X) 1 x- 1 - f( ) ' si elle existe lim f(x) - f ( l ) = lim x 5 5 x + 4 = iim ~3 + 2x2 x+ 1 X-l x+ 1 (x-1)2 x+ 1 D' où f est dérivable en 1 ct on a f(1) = 10. Etudier la dérivabilité de la fonction f : 1) f(x) = I x2 - 3 1 + 3 ~+ 4 = 10 / 39 f (x) = O (A) x -a si I x l r a SIIXI < a. ou a~ X+ i Solution I est dEfiiiie , coriiinue en out point de 2, dkrivablc sur 12, 1) f(x) = I x2 - 3

d’utilité du bien X, où on associe à x l’élément U(x) La fonction U = U(x) présente plusieurs propriétés : - la continuité : U est définie pour tout 0≤x‹∞. Ce qui implique que les quantités consommées du bien (x) sont infiniment divisibles. - La dérivabilité du premier et du second ordre (ou dérivée seconde). La fonction –U- est supposée posséder les caractéristiques d’une fonction qui admet une dérivée du premier ordre, dont l’expression est : Cette dérivée possède une signification économique

un réel quelconque de [1 ; +∞[ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant : f (x0 ) A(x0 + h) − A(x0 ) h f (x0 + h). c. Lorsque x0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x0 + h 1? d. En déduire la dérivabilité en x0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x0 de la fonction A. e. Conclure. 5 4 3 e 2 1 0 0 http://prof.pantaloni.free.fr 1 x0x0 + h 2 V ERSION DU 9 MARS 2012 

fonction et d’une suite de polynômes On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (0) = 0 et, pour x = 0, f (x) = 1 −1 e x. x2 1 - Représentation de la fonction f a) Etudier la continuité à gauche et à droite, la dérivabilité à gauche et à droite de f en 0. b) Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ; préciser les branches infinies. c) Tracer la courbe représentative C de cette fonction dans un repère orthonormal (unité : 2 cm). On donne :

des fonctions continues en x0 qui ne sont pas dérivables en x0 , étudiez l’exercice A.1.1. On vient de définir la notion de dérivée première. Lorsque f est dérivable en tout x, on définit une nouvelle fonction f , on peut alors s’interroger sur la dérivabilité de f . Si f est dérivable on dit que f est 2 fois dérivable, la dérivée de f est notée f et s’appelle dérivée seconde de f . On peut recommencer. Les dérivées successives de f se notent f ou f (1) , f ou f (2) , f ou f (3) , f (4) , f (5) , .

d’enseignement. Il ne s’agit pas de démontrer les théorèmes ou les résultats énoncés mais d’expliquer leurs utilisations et leurs règles de calcul. Descriptif :  Fonction numérique d’une variable réelle. - Rappel très rapide des notions de continuité, de dérivabilité, du théorème des valeurs intermédiaires. avec des exemples et des applications. - Fonctions hyperboliques, trigonométriques réciproques et hyperboliques réciproques.  Intégration - Intégrales simples. Calcul de primitives. Formule de changement

synthèse des résultats : agrégats et TEE MATHEMATIQUES Le cours de mathématiques est construit de la façon suivante : 1. 2. 3. 4. 5. 6. Equations de droites – programmation linéaire Les polynômes Les logarithmes et les exponentielles Continuité et dérivabilité Le calcul différentiel Etudes de fonctions – développements limités Chaque chapitre est accompagné d’exemples d’applications à l’économie. STATISTIQUES Le cours de statistiques permet l’étude d’une distribution à une variable. Il est composé