Dérivabilité

on a sinh( kπ(1−x) ) ≤ sinh( kπ ) et sinh( kπx ) ≤ sinh( kπ ), donc : n n n n |ak (x, y)| ≤ 8 k3π3 qui est un terme général de série convergente La série introduite dans la dénition de u est donc convergente. 8 Dérivabilité : La preuve de la dérivabilité de la série et donc de u s'appuie sur un théorème d'analyse assez relevé que nous énoncons ici. Théorème 2.2 (Théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions) Soit I un intervalle et F un espace vectoriel normé de dimension

PROBLÈMES D’ANALYSE II Continuité et dérivabilité Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak Traduction : Eric Kouris Collection dirigée par Daniel Guin 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France This work was originally published in Polish, as Zadania z Analizy Matematycznej. Część Druga Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek Różniczowy, c 1998 Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Published in English by the American Mathematical Society

: serge.dumont@unimes.fr Les cours seront (bientôt) disponibles sur l’ENT Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 2 / 44 1 – Introduction 1.2 – Plan prévisionnel du cours Plan prévisionnel du cours 1 Introduction – Notion de fonction 2 Dérivabilité 3 Intégration 4 Equations différentielles Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 3 / 44 1 – Introduction 1.3 – Notion de fonction Définition 1 Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre x, un unique autre nombre appelé

fn( x))dx  K K puis   n1 n 1  (h(x)  f (x))dx  0 . 0 1 n   0 fn( x)dx  0 . On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction fn définie sur   par : fn(t)  1. a. Justifier la dérivabilité de la fonction fn sur   . et . 1  tn b. Etudier les variations de la fonction fn , préciser sa limite en  et sa valeur en 0. 2. Etude d'une suite d'intégrales impropres. On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : In

0 4x x→+∞ 2x + 1 x→+∞ 4x x→+∞ e x→+∞ e 2   lim e4x = +∞  ln (2x + 1) x→+∞ 4x Par suite lim f (x) = lim e 1 − = +∞ par produit avec . 4x x→+∞ x→+∞  lim 1 − ln (2x + 1) = 1 e  4x X →+∞ e 1 ′ Φ (x) 3. a. Étudier la dérivabilité de f et démontrer que pour tout x = − , f (x) = . 2 1 + 2x 1 f est dérivable sur − ; +∞ comme somme de fonctions dérivables 2 U f = e − lnV avec U (x) = 4x et U ′ (x) = 4 ′ V fonction dérivée V (x) = 2x + 1 et V ′ (x) = 2 f ′ = eU

explication, -Est-ce que vous pensez que tout est parfait kerkhove, -Je ne sais pas c’est a vous de me le dire. -Est-ce que c’est votre dernier mot, -Bah euh,… un silence s’installe, -Vous avez oublier l’hypothèse de dérivabilité. Vous sortez, -Mais je m’en sert de cette hypothèse dans ma démo, c’est donc que j’ai compris. -Et il me répond en plus, ce petit « merdeux ou morveux » (je ne sais plus exactement) sortez immédiatement. Il sort, j’était terroriser

par La fonction est le quotient de la fonction ( ), continue sur , continue sur (fonction linéaire). De plus, pour tout continue sur son ensemble de définition . (fonction sinus), par la fonction , . Par conséquent, est Rappel : Dérivabilité d’une fonction en un point – Limite d’un taux d’accroissement Soit une fonction définie sur et soit Pour tout , tel que . , le nombre noté ( ) ( ) est appelé taux d’accroissement de Si ce taux d’accroissement admet une

sur un intervalle . . . . . . 19.5. Fn en escalier, continue par morceaux 19.6. Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . 19.7. Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . 19.8. Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Dérivabilité 20.1. Dérivée, classe C 1 et notations . . . . . 20.2. Classe C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3. Somme et produit . . . . . . . . . . . . . 20.4. Dérivée d’une fonction composée . . . . 20.5. Dérivée et prolongement par continuité 20

suivant les signes TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim =

dŽrivable en un point · Définition · Théorème admis : si f est dérivable en x0 , alors f est • • Calculer le nombre dérivé, le nombre dérivé à gauche, le nombre dérivé à droite Utiliser les règles de dérivation au programme Utiliser le théorème liant dérivabilité et continuité · Déterminer une équation de la tangente à une courbe Représenter une tangente ou une demi tangente à une courbe Déterminer les variations d'une fonction Construire un tableau de variations 44 Programmes de mathématiques