Dérivée partielle

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ ¥ [ par i(x) = 4 + - ² Exercice 3 (3.5 points) j est une

Fonction dérivée et fonctions primitives 1. Fonction dérivée Si une fonction f est définie et dérivable pour tout réel a d’un intervalle I, alors f est dérivable sur cet intervalle. La fonction qui à tout réel a associe, s’il existe, le nombre dérivé f ′ ( a ) est la fonction dérivée notée f ′ de la fonction f. La fonction f ′ est telle que : f ′ : I → . x f ′(x) La fonction f ′ est aussi appelée dérivée première de f. Si la fonction f ′ est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée est la dérivée seconde

.................... 1    En combinant les concepts de dérivée première et seconde, il est maintenant possible  de tracer le graphe d'une fonction avec une précision surprenante : la dérivée première  représente  la  pente  d'une  fonction  et  permet  de  déterminer  la  croissance  ou  la  décroissance de celle‐ci ; les points stationnaires et critiques permettent d'obtenir des  minima et des maxima locaux (sinon absolus) ; la dérivée seconde décrit la courbure de  la fonction.     Il  est  primordial 

Définition de la fonction dérivée   Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur .  On dit que la fonction f est dérivable sur  si elle  est dérivable en tout nombre réel  de . Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé  de f en  s’appelle la fonction dérivée de f. On la note :            Exemple   Soit f la fonction définie sur  par :  Soit  On a :        Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc  La fonction f est donc dérivable en , pour tout 

strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle

sous forme d’expression symbolique ou sous forme gr graphique. 2. Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur un intervalle. 3. Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 4. Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d’une fonction et tracer son graphique. 5. Résoudre des problèmes d’optimisation et de taux de variation. s Professeurs : Nicolas Beauchemin (A-332), Stéphane Beauregard (A (A-340), Hélène

Chapitre III : Dérivation 1 1.1 Fonctions dérivables Nombre dérivé, fonction dérivée Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. f est dérivable en a si et seulement si l’une ou l’autre des deux propositions équivalentes est réalisée : f (a + h) − f (a) a une limite finie l en 0, ou encore – la fonction h −→ h f (x) − f (a) a pour limite l quand x tend vers a. que la fonction x −→ x−a – pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a)

| MEMOIRE FINAL de Raisonnement Scientifique Histoire de fonctions : Exercice 3 : Dérivées Rappel vu précédemment : Fonction : Quand une grandeur dépend d’une autre ou de plusieurs autres grandeurs, on dit que la première grandeur est une fonction des autres grandeurs que l’on appelle alors variables. La dérivée peut se faire par rapport a un nombre ou plus habituellement par rapport à une fonction. Cependant les deux existent et sont courrant

affine de cette fonction en ce point — si cette approximation affine existe. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». La dérivée de la fonction f\, est notée en mathématique f'\, ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm

y=2x−2+2 y=2x IILa fonction dérivée ALa dérivée sur un intervalle La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle. On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f′, qui a tout réel x associe f′(x). Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f . BLes dérivées des fonctions usuelles Soient