Dérivée partielle

Dérivées des fonctions de références. 1) Dérivée d'une fonction. f est une fonction défini sur R et pour tout x de R, il existe un nombre dérivé f'(x). La fonction x ―> f'(x) est la fonction dérivée de f sur R. 2) Dérivée d'une fonction affine (x ―> ax+b) Si f(x)=ax+b alors la dérivée sur R est f'(x)=1. * Cas particuliers: Si f(x)=x Alors f'(x) = 1 (car a=1). Si f(x)=b (constante) Alors f'(x) = 0 (car a=1) 3) Dérivée de la fonction carrée (x ―> x²) Si f(x) = x² alors la

Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi normale. Estimer une moyenne, une variance, une fréquence. Tester l'égalité de moyennes, de fréquences. Prérequis : Niveau d'un bachelier scientifique ou technologique. Contenus : Étude des polynômes. Calcul vectoriel (produit scalaire, produit vectoriel, projection). Dérivées. Fonctions

supplémentaires C h a p i t r e 4 Catégories de problèmes 1. Calcul de dérivées. 2. Calcul de dérivées. 3. Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané

1 partie : Dérivation (1) e 2 partie : Trigonométrie Séquence 4 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne ère 1 partie Dérivation (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Nombre dérivé d’une fonction en un point 3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence 4. Dérivation : opérations sur les fonctions 5. Premières applications de la dérivation 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence 7. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence

x (lorsque x tend vers + \infty , t tend vers - \infty ) x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t} d'où \displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \(- \dfrac{t^n}{e^t} \) = 0 IV. Dérivée de {e^{u}} - Primitive associée Si u est définie et dérivable sur I de \mathbb{R}, la fonction f(x) = e^{u( x)} est définie et dérivable sur I et f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)} De manière générale : \left(e^{u}\right)' = u'e^u

nous en donne une équation : x -a y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a) III) FONCTION DÉRIVÉE Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'. La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3. Définition 2

( ) et de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. 1. Calculer un développement limité à l’ordre au voisinage de ( ) ( ) de : 2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en prolongée admet une dérivée première en . 3. Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de ( ) ( ) ( ) et que la fonction ainsi de : Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Justifier l’existence et calculer le développement limité à l’ordre

type f (x) = k 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquence 2 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Dérivée des fonctions « puissances » Dérivée de u +v, de ku, de uv Problème d’optimisation 1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

Correction MATHEMATIQUES : (15points) Exercice 1 PARTIE A 1. 1.1 g(0) = 1 1.2 g(0) = c donc c = 1 2. g’(0) = -0,25 et g’(0) = b donc b=-0,25 3. 3.1 g(-5) = 3,5 et g(-5) = 25a + 0,25´5+1 = 25a+2,25 donc on a : 25a+2,25 = 3,5 3.2 25a=1,25 donc a= 1,25/25 = 0,05 4. g(x) = 0,05x2 –0,25x + 1 PARTIE B : 1. f(0) = 1 donc B(0 ;1) est sur la courbe. f(5) = 0 donc C(5;0) est sur la courbe. 2. f’(x) = 0,018x2 –0,04x – 0,25 3. f’(0) = -0,25 et f’(5) = 0 4. D passe par B car si x=0 alors y=1 (avec