Dérivée partielle

1/ Rappels Définition  : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0. D’un point de vue pratique,  cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi : La fonction exponentielle, notée exp  : - est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R. - pour tout x : exp’ (x) = exp (x) - pour tout x : exp (x) > 0 - exp (0) = 1 ces résultats ont été vus en détail

affine de la fonction au voisinage de 2. Pour x proche de 2, 4x – 6 et x² – 2 donnent des résultats très voisins. Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D. La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f sur D et on la note f '. Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction constante | ℝ | k | 0 | Fonction affine | ℝ | ax+b | a |

MathLes dérivés I-Les dérivées Usuelles Fonction f(x) | Dérivé f’(x) | Condition | k | 0 | ℝ | ax+b | a | ℝ | X | 1 | ℝ | Xn | nXn-1 | ℝ | X² | 2 X | ℝ | | | ℝ | | | ℝ | | | ℝ | II-Opérations et dérivées Fonctions | Fonctions dérivées | U+V | U’+V’ | UxV | U’VxUV’ | 1/V | (-V’/V²) | U /V | (U’V-UV’)/V² | III-Etudier les variations d’une fonction Soit la fonction C(q)=0,1q3-6q²+150q+500 avec q E [0 ;70] On étudie le sens de variation : En dérivant

Marne-La-Vallée , Licence 2, Macroéconomie approfondie Année universitaire 2008-2009 L2, Groupes TD 2, Boulloche élargi Support TD Macro II Chargé du TD : Mohamed Saadi 1 Corrigé TD1, TD2(suite), TD3(suite) , TD 4 , CC (2007), RCC(2007), Partiel janvier (2008, éléments de correction), CC TD2 (2008), CC Boulloche (2008), RCC (2008) Corrigé du TD 1 Exercice 1 : Production d’équilibre et multiplicateur ( L’équilibre sur le marché des biens et des services : la courbe IS) Considérons une

u’1 et u’2 sont les dérivées des fonctions d’utilité. Les variations d’utilité totale (delta u) qui résulte d’un petit accroissement delta1 peuvent être approximées si les quantités de x2 restent inchangées par delta u=u’1(x1)deltax1. En considérant de toutes petites variations de x1 (deltax1=1), on mesure le supplément d’utilité par la dérivée de la fonction d’utilité: du=u’1(x1). Pour respecter l’hypothèse de décroissance de l’utilité marginale, on considère que la dérivée première de u1(x1) est

[pic](ou -[pic]), [pic]n'est pas dérivable en [pic], mais Cf admet une demi-tangente verticale en M0. [pic]Placer les tangentes horizontales ([pic]), et les tangentes ou demi-tangentes particulières avant de tracer la courbe. III. Utilisation de la dérivée [pic]Justifier son existence (opérations sur les fonctions dérivables) [pic]Exprimer [pic]en factorisant au maximum pour :             - connaître le signe de [pic], et ainsi le sens de variation de [pic];             - trouver les valeurs où

pensera qu’on peut bien faire une erreur de 10 années-lumière ! Quant au mathématicien, il se bornera à indiquer prudemment que plus on est proche de a, plus l’erreur est négligeable. Il faut donc s’attendre à ce que la définition rigoureuse de la dérivée utilise la notion de limite. Et c’est bien ce qui va arriver ! B Sur le tour de France . S G 100 m D 10 km P U A 400 m 10 km La courbe ci-dessus représente une étape du Tour de France. Même un non initié comprend qu’il y a une

09/2006 Antilles Exercice n°2 ( 5 points) DÉCHARGE D'UN CONDENSATEUR On envisage le circuit suivant constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C. C À l' instant t = 0, le condensateur est chargé sous la tension U0 = 10 V. A B On notera : • uC la tension aux bornes du condensateur à l'instant t, et l'on a uC(0) = U0 • uR la tension aux bornes du conducteur ohmique à l'instant t, • i l'intensité du courant à l'instant t. Cette intensité a été comptée positivement

est fausse. Une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable. Considérons, par exemple, la fonction g définie sur par : | Zoom | g est continue en 4 car et En revanche, la fonction g n'est pas dérivable en 4 car la dérivée à gauche de 4 est et la dérivée à droite de 4 est 4. Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? À quoi sert-il ? • Soit une fonction f continue sur un intervalle [a ; b]. Alors il y a pour tout au moins un nombre tel que f(x 0) = y. x 0 est unique lorsque

CHAPITRE 3 Exercice 1 Limites de suites et de fonctions (page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » Prérequis testés Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞