Dérivée seconde

CHAPITRE 3 Exercice 1 Limites de suites et de fonctions (page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » Prérequis testés Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞

15 mois et 27 jours 7) E) 107,83 km/h : il faut tout d'abord calculer le temps qu'il va mettre pour parcourir respectivement les 52 puis les 103 km. Donc : 52/83 = 0,6265 x 60 (pour obtenir les minutes) = 37 minutes et 35 secondes ; 103/127 = 0,8110 x 60 = 48 minutes 40 secondes. L'automobiliste aura donc parcouru au total 52 + 103 = 155 km en 37'35'' + 48'40'' = 86, 25'. Sa vitesse moyenne est donc égale à 155/(86,25/60) = 107,83 km/h 8) E) 18H45 : il faut tout d'abord savoir combien de temps le

Fonction dérivée 1. Définition La fonction dérivée est la fonction . Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé et la fonction dérivée (comme il ne faut pas confondre et ). 2. Propriétés Si et sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et : pour , réels quelconques , aux points tels que , aux points tels que () () Si , , réels quelconques Propriété 4 Une fonction paire a une dérivée impaire.

I. JUGEMENT DU VOYAGE DE BOUGAINVILLE. A. Cette superbe voûte étoilée, sous laquelle nous revînmes hier, et qui semblait nous garantir un beau jour, ne nous a pas tenu parole. B. Qu’en savez-vous ? A. Le brouillard est si épais qu’il nous dérobe la vue des arbres voisins. B. Il est vrai ; mais si ce brouillard, qui ne reste dans la partie inférieure de l’atmosphère que parce qu’elle est suffisamment chargée d’humidité, retombe sur la terre ? A. Mais si au contraire il traverse l’éponge

de R3 -+ M a. A quoi est équivalent ô(x,y,z) quand z —> +00? Montrer que lim 6(x, y. z) = a. Donner un équivalent b.. x—>+oo TD 2 : Fonctions, Dérivées, développements limités Sauf indications contraires, toutes les constantes introduites dans les énoncés sont des réels strictement positifs. Donner le domaine de définition et calculer les dérivées des fonctions : 7. de S(x, y,z) —a quand x +00 . Equation de van der Waals. On considère la relation suivante entre les variables P, V et

Etude du circuit RC en régime transitoire Préparation : Fonctionnement du montage : • Circuit de charge

formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel). Alors, pour

XIXème : Utilité marginale : C’est l’utilité de la dernière unité consommée du produit. Propriété générale de la modélisation de l’utilité : C’est une fonction décroissante des quantités. Au XVIème siècle, le calcul différentiel (grâce aux dérivées) donne aux néoclassiques un outil de modélisation mathématiques et ils l’utiliseront pour calculer utilité marginale (rareté d’un produit). B. Optimum du consommateur : une situation d’équilibre: L’optimum du consommateur c’est maximiser

représentant la fonction carré admet donc une tangente en tout point et le coefficient directeur de cette tangente est le double de l'abscisse du point A. Fonctions dérivées Définition Soit une fonctiondéfinie sur un intervalleet dérivable en tout pointd'un intervalleinclus dans I. On appellela fonction dérivée desur J, qui à tout pointdeassociequi est, rappelons-le, le coefficient directeur de la tangente àau point d'abscisse. Exemples En se donnant

Dérivées des fonctions de références. 1) Dérivée d'une fonction. f est une fonction défini sur R et pour tout x de R, il existe un nombre dérivé f'(x). La fonction x ―> f'(x) est la fonction dérivée de f sur R. 2) Dérivée d'une fonction affine (x ―> ax+b) Si f(x)=ax+b alors la dérivée sur R est f'(x)=1. * Cas particuliers: Si f(x)=x Alors f'(x) = 1 (car a=1). Si f(x)=b (constante) Alors f'(x) = 0 (car a=1) 3) Dérivée de la fonction carrée (x ―> x²) Si f(x) = x² alors la