Dérivée seconde

supplémentaires C h a p i t r e 4 Catégories de problèmes 1. Calcul de dérivées. 2. Calcul de dérivées. 3. Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané

x (lorsque x tend vers + \infty , t tend vers - \infty ) x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t} d'où \displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \(- \dfrac{t^n}{e^t} \) = 0 IV. Dérivée de {e^{u}} - Primitive associée Si u est définie et dérivable sur I de \mathbb{R}, la fonction f(x) = e^{u( x)} est définie et dérivable sur I et f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)} De manière générale : \left(e^{u}\right)' = u'e^u

nous en donne une équation : x -a y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a) III) FONCTION DÉRIVÉE Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'. La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3. Définition 2

( ) et de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. 1. Calculer un développement limité à l’ordre au voisinage de ( ) ( ) de : 2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en prolongée admet une dérivée première en . 3. Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de ( ) ( ) ( ) et que la fonction ainsi de : Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Justifier l’existence et calculer le développement limité à l’ordre

type f (x) = k 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquence 2 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Dérivée des fonctions « puissances » Dérivée de u +v, de ku, de uv Problème d’optimisation 1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

Correction MATHEMATIQUES : (15points) Exercice 1 PARTIE A 1. 1.1 g(0) = 1 1.2 g(0) = c donc c = 1 2. g’(0) = -0,25 et g’(0) = b donc b=-0,25 3. 3.1 g(-5) = 3,5 et g(-5) = 25a + 0,25´5+1 = 25a+2,25 donc on a : 25a+2,25 = 3,5 3.2 25a=1,25 donc a= 1,25/25 = 0,05 4. g(x) = 0,05x2 –0,25x + 1 PARTIE B : 1. f(0) = 1 donc B(0 ;1) est sur la courbe. f(5) = 0 donc C(5;0) est sur la courbe. 2. f’(x) = 0,018x2 –0,04x – 0,25 3. f’(0) = -0,25 et f’(5) = 0 4. D passe par B car si x=0 alors y=1 (avec

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ ¥ [ par i(x) = 4 + - ² Exercice 3 (3.5 points) j est une

Investigation : « Comment bien surfer la vague ? » Un surfer est resté 5 secondes dans un tube. Un film vidéo du mouvement a permis de calculer, en fonction du temps t, sa position de son entrée à la sortie du tube : f(t) = 0,8 t2 + 7 t pour t appartenant à l’intervalle [0 ; 15], t en secondes et f(t) en mètres. La vitesse instantanée du surfer peut être obtenue pour chaque instant t à partir de f(t) en déterminant le nombre dérivée à l’instant t. Déterminez, par la méthode de votre choix, le nombre

Chapitre 5 Dérivation 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( 2 Fonction dérivée 2.1 Définition 2.2 Tableaux 3 Applications 4 Utilisations de la fonction dérivée 4.1 Equation de la tangente à la courbe en un point x0 4.2 Variations de f et signes de f’ 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( Taux d’accroissement : T(k)