Dérivée

Analyse : comportement des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.7 Analyse : définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.9 Analyse : dérivée et équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles) . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Analyse : la règle de l’Hospital . . . . . . . . . . .

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité x n , n ∈ N∗ nxn−1 R R R∗ R∗ R∗ R∗ 1 x 1 x2 − 1 , n ∈ N∗ xn − xn , n ∈ Z∗ nxn−1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 √ x 1 √ 2 x [0, +∞[ ]0, +∞[ ex ex R R ln(x) 1 x ]0, +∞[ ]0, +∞[ sin(x) cos(x) R R cos(x) − sin(x) R R tan(x) n xn+1 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 Dérivées et opérations

L'objectif de ce TD est de mettre en œuvre et de comparer les performances de deux méthodes de recherche approchée d'une racine d'une équation algébrique : méthode de dichotomie, méthode de Newton (avec variante selon la connaissance ou non de la dérivée de la fonction). Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère. (d'après une idée de Philippe FICHOU, Lycée Chateaubriand, RENNES) Les pales d'hélicoptère sont assimilables (en première

| | | |f(x) | | 3. La fonction f est la dérivée d’une fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 4]. En justifiant la réponse donner le sens de variation de la fonction F. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur ]1;

qu’il existe A > 0 tel que si x > A , alors ex > M. Prenons A = ln M : x > A ( exp(x) > exp(ln M ) soit exp(x) > M • [pic] 3) Dérivée de exp : Admettons que exp est dérivable sur . Alors , ( ln o exp ) (x) = x En dérivant les deux membres, [pic] Donc exp’(x) = exp(x) ou encore :[pic] Théorème : La fonction exp est dérivable sur et égale à sa dérivée. exp’(x) = exp(x) On dit que exp est une solution de l’équation différentielle y’=y. 5) Comparaison avec la fonction x ( x : |Théorème

que la droite + x→0 d’équation x = 0 (l’axe des ordonnées) est également une asymptote. 4. Dérivée * La dérivée de la fonction : g : x * La dérivée de la fonction : h : x x − 8 est : g’(x) = 1 − 64 64 est : h’(x)= x x² ⎛1⎞ ⎝ x⎠ ' En effet, il suffit d’utiliser la formule : ⎜ ⎟ = Puis : h(x)= 64 × −1 x² − 1 − 64 1 donc : h’(x)= 64 × = x x² x² * En additionnant, on trouve la dérivée de f : f ' ( x) = 1 − 64 x ² − 64 x ² − 8² ( x − 8)( x + 8) = = = . (résultat auquel il

(attention au signe moins qui est associé à la dérivée du dénominateur!!!) Dérivation d’une puissance de x (Algèbre des exposants) P. 92 Problèmes P. 126 et suivantes # 15 à 24 , 28 à 30 Se souvenir que tangente horizontale est associé à une dérivée nulle! Faire des problèmes de différents types. Interprétation du signe de la dérivée, relation avec croissance et décroissance de la fonction P. 96 à 107 Problèmes P. 128 # 32 à 35 , 38 , 41 Dérivée de fonctions composées et dérivation implicite

important en PAES d’avoir  une  maitrise  parfaite  de  la  dérivation  et  de  l’intégration.  Ce  sont   des outils récurrents qui apparaitront dans la majorité des problèmes que vous rencontrerez. I. La dérivation La fonction dérivée On définit la fonction dérivée de f(x), notée  f’(x). ?? En physique on la note aussi   . ?? Cette  fonction  permet  de  traduire  l’évolution  f  en  fonction  des  valeurs  de  x. A  titre  d’exemple,  en  considérant  un  problème  sur  un  seul  axe

> 0 = 2 solutions : (-b+√∆)/2a et (-b-√∆)/2a Chapitre 2 : dérivation Tableau des dérivées Tangente Équation tangente : y = f'(a)(x-a)+f(a) Sens de variation d'une fonction Pour tout réel x de [I] : f'(x) ≥ 0, f est croissante sur [I] f'(x) ≤ 0, f est décroissante sur [I] f'(x) = 0, f est constante sur [I] Faire tableau de signe + variation Extremum f(c) est un extremum local si f'(c) = 0 et si la dérivée change de signe au nombre c. Exemple : f(x) = x²-8x+7 Alors f'(x) = 2x- 8 et f'(4) = 0

y), il faut introduire la notion de dérivée partielle. La dérivée partielle de f par rapport à x en (x0 , y0 ) est ∂f ∂x lim f (x0 + dx, y0 ) − f (x0 , y0 ) . dx (x=x0 , y=y0 ) dx→0 On la notera plus simplement ∂ f /∂x. Seule x = x0 + dx varie dans cette opération. On peut donc calculer ∂ f /∂x comme la dérivée usuelle par rapport à x, les autres variables étant considérées comme des paramètres constants lors de cette dérivation. De même pour les dérivées partielles par rapport aux autres