Dérivée

Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2 Dérivées directionnelles Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y ! en P(1,2,-1) dans la direction dé…nie par le vecteur P Q; Q(3; 1; 5) 3y 2 z; b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle maximum? Exercice 5 Trouver la dérivée directionnelle du champ: f (x; y; z) = x2 yz 3 ; en P(1,2,-1) dans la direction de la courbe paramétrée de l’espace: C:

continuité d’une fonction . . . . . 1.3.1 Limite d’une fonction en un point . . 1.3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dérivées partielles et fonctions de classe C 1 1.5 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . 1.6 Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cas des fonctions numériques . . . . 1.6.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . 1.8 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Extrema locaux . . . . . . . .

le point d’abscisse 0. b. Calculer g(1). Décrire par une phrase ce que représente le point d’abscisse 1. 3. Calculer g ′ (x), g ′ désignant la dérivée de la fonction g. 4. a. Rechercher le signe de g ′ (x) selon les valeurs de x, x ∈ [0 ; 2]. 2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 15] par : f (x) = 30x2 − 2x3 a. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f et étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [0 ; 15]. b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle

. . . . . . . 2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . 2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . 2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . .

Définition 3 : Une fonction f : I → ℜ est dite dérivable en a∈I si et seulement s'il existe f ( x ) − f (a ) une limite finie en a pour l'expression cette limite est alors appelée "nomx−a bre dérivé" de f en a ou, par un abus de langage très courant, dérivée de f en a. Remarque : Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais il existe des fonctions continues en un point qui n'y sont pas dérivables, comme par exemple x et x en 0 (dessiner les graphes de ces fonctions). Définition

......................................................................................................... 43 3. DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE ..................................................................... 43 3.1 Différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan / dérivée....................................... 45 3.2 Différentielle /Dérivée d'un vecteur unitaire dans l'espace (lorsque ω et u ne sont pas perpendiculaires).............................................................

. . . . . . . 2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . 2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . 2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . .

parfaitement divisible ( biens alimentaires …), qu’on peut ajouter un dixième ou un millième d’unités à sa consommation, on se trouve dans le cas d’une fonction continue, il faut mobiliser le concept de dérivée : dans ce cas-là, utilité marginale est la dérivée de l’utilité totale. Um = (Ut)’ Cette fonction dérivée nous donne donc l’expression générale de son évolution. Um = (Ut)’ = dUt / dX = Variation de U induite par variation de X quand X varie de façon infinitessimale ( quand X

     { 3. x t = f 1 t =32t −60t 24t4 y t = g 1 t =−18t2 18t 3 2 4. g ' 1 t =−36t18 g ' 1 t =0 ⇒ t 1= 1 2 On rencontre un extremum là où la dérivée s'annule. é T 5. Lorsque t < 0,5 la dérivée est positive, la courbe croit. Lorsque t > 0,5 la dérivée est négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum. h c lé é rg a h r su /w :/ tp t w w . x  e id a .c m a m o   f ' 1 t =96t 2−120t24

. . 10 II.2.3 Schéma d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2.4 Dérivée d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2.5 Généralisation de la notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.6 Quelques schémas en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.7 Dérivées croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2.8 Exemple simple 1D avec