Distribution de Dirac

quantitative de l’information . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 La cryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Postulats de la M´canique Quantique e 3.1 Le cadre math´matique de la m´canique quantique. e e 3.2 Les notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Les postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exemple : Polarisations de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 17 20 24 24

Quand enfin il eut terminé, il y eut une ovation émouvante. Stephen Hawking était une légende déjà. Hawking est maintenant « Lucasian Professor of Mathematics » à l’Université de Cambridge, poste jadis occupé par Newton et, plus tard, par P. A. M. Dirac, deux célèbres explorateurs de l’infiniment grand et de l’infiniment petit. Il est leur digne successeur. Ainsi, le premier ouvrage de Hawking pour le non-spécialiste est plein de récompenses de toutes sortes pour le simple public. Il fournit des lueurs

Département de Physique de la matière condensée : enrico.giannini@physics.unige.ch. [6] C. Jelsch, M. Teeter, v. Lamzin, v. Pichon-Pesme, R. H. Blessing and C. Lecomt. Accurate Protein crystallography at ultra high resolution: valence Electron distribution in crambin. Proc. Nat. Acad. Sci. USA.,97 (2000) 3171-5176. [7] V, S. Lamzin, R. S. Morris, Z. Douter, K. S. Wilson and M. Teeter, J. Biol. Chem., 274 (1999) 20753-20755. [8] Jean-Jacques Rousseau, Cristallographie géométrique et radiocristallographie

Quand enfin il eut terminé, il y eut une ovation émouvante. Stephen Hawking était une légende déjà. Hawking est maintenant « Lucasian Professor of Mathematics » à l’Université de Cambridge, poste jadis occupé par Newton et, plus tard, par P. A. M. Dirac, deux célèbres explorateurs de l’infiniment grand et de l’infiniment petit. Il est leur digne successeur. Ainsi, le premier ouvrage de Hawking pour le non-spécialiste est plein de récompenses de toutes sortes pour le simple public. Il fournit des lueurs

fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 67 67 69 70 71 77 80 83 84 87 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6

fonction de transfert Mˆ me dans le cas d’un mod` le d’ordre elev´ , la r´ ponse du syst` me a une excitation u(t) est plus facile a e e ´ e e e ` ` d´ terminer si l’on utilise la fonction de transfert. En effet, lorsque u(t) est une impulsion de Dirac (r´ ponse impule e sionnelle), ou un echelon unitaire (r´ ponse indicielle), alors Y (p) = G(p)U (p) peut etre d´ compos´ en el´ ments ´ e ˆ e e ´e simples faisant intervenir les pˆ les du syst` me. Ainsi chaque el´ ment simple g´ n` re un terme de

d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi uniforme Loi

une propriété est dite vraie P -presque sûrement, si l’ensemble des ω ∈ Ω tels que cette propriété soit vraie est de probabilité égale à 1. Considérons deux exemples classiques de probabilités : Exemple 1.13 (Mesure de Dirac). Pour ω0 fixé dans Ω, on appelle mesure de Dirac la mesure de probabilité δω0 : Ω → R définie par 1 si ω0 ∈ A, δω0 (A) = (1.1) 0 si ω0 ∈ A. / Exemple 1.14 (Mesure de Lebesgue). Soit Ω = [0, 1] et B ([0, 1]) sa tribu borélienne. On appelle mesure de Lebesgue la probabilité

aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités

particules un million de fois plus petites que l’atome d’hydrogène. La combinaison de ces particules donnerait naissance aux atomes des éléments. Il n’a pas dit que l’espace était rempli de ces particules mais qu’il en était composé. John Wheeler, Paul Dirac et d’autres physiciens ont développé l’hypothèse de Mendeleïv et en sont arrivés à comparer l’espace à un ensemble limité de grains minuscules. D’une manière encore mystérieuse, ces corpuscules donneraient naissance aux particules matérielles. John