Diviseur

non nul : d = pgcd  945 ; 882) = 63. ( 3. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63. Il n’y a pas d’autres solutions. Problème 2 1. b) L’ et ’ sont tels que : PGCD (L’ ; ’) = 1. 2. L = 12 L’ ;  = 12’ ;  2 L = 77 760. Soit 144 ’ 2 × 12 L’ = 77 760  et  ’ 2 L’ = 45 = 32 × 5. D’où ’ = 1 ou ’ = 3 ; donc L’ = 45 ou L’ = 5. Les couples (l ; L) sont : (12 ; 540) ou (36 ; 60). Application (page 44) 1  1. Tout diviseur d de a et b divise toute combinaison linéaire de a

Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit de facteurs premiers 4 1.5 Notation décimale 4 1.6 Notation Fractionnaire 4 1.7 Notation ingénieure 4 1.8 Notation scientifique 4 1.9 Notation logarithmique 4 1.10 Plus petit commun multiple (ang. lcm) 5 1.11 Plus grand commun diviseur (ang. gcd) 5 1.12 L’algorithme d’Euclide pour calculer un PGCD 5 1.13 Priorité des opérateurs 5 1.14

d'instructions à suivre, effectivement exécutables, permettant d'obtenir un résultat clairement défini en un nombre fini d'étapes. En classe de 3°, nous utilisons par exemple l'algorithme d'Euclide dans le but de calculer le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers positifs. Devoir de mathématiques n°3 Al-Khwarizmi 1) Le nom complet de ce grand savant perse est Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi. Il est néanmoins plus connu sous le nom d'al Khwarizmi

. . . 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 16 16 16 18 2 Divisibilit´ dans Z e 2.1 Multiples d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Diviseurs d’un entier relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propri´t´s sur la divisibilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 3 La division Euclidienne 3.1 La division Euclidienne

Qu'est-ce qu'un PGCD ? PGCD signifie Plus Grand Diviseur Commun. Le PGCD de deux nombres a et b correspond donc au plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Exemple: Le PGCD de 6 et 9 est 3 car il divise 6 ( 6:3 = 2 ) ainsi que 12 ( 9:3 = 3 ). Et ce diviseur est plus grand que 1 qui l'autre diviseur commun Comment trouver le PGCD deux nombres ? Si les deux nombres ne sont pas trop grands la méthode la plus simple consiste à faire une liste des diviseurs des deux nombres puis de repérer ceux qui

ARITHMETIQUE I. Multiples et diviseurs On a 2 entier : a et b qui n’égale pas 0. On dit que b et diviseur de a. Donc : • b divise a • a est multiple de b • a est divisible par b Ex : • 2 divise 4 • 4 est multiple de 2 • 4 est divisible par 2 II. Plus Grand Diviseur Commun de 2 entiers Le PGDC de 2 nombres entiers a et b non nuls est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b. Il est noté PGDC (a ; b). Un PGDC est toujours supérieur

d'instructions à suivre, effectivement exécutables, permettant d'obtenir un résultat clairement défini en un nombre fini d'étapes. En classe de 3°, nous utilisons par exemple l'algorithme d'Euclide dans le but de calculer le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers positifs. II-sa vie 1) Al Khwarizmi est un grand savant perse qui a vécu durant le IX° siècle, au début du Moyen-âge. Il naît environ en 780 dans la région perse de Khwarizem (Ouzbékistan

Justifications (non demandées) 1) 44 à pour diviseurs 1 ; 2 ; 4 ; 11 ; 22 ; 44. Seul 1 est aussi un diviseur de 63. Donc 44 et 63 sont premiers entre eux. Autre méthode : on calcule pgcd (44 ; 63) et on trouve 1. La conclusion est la même. 2) Les diviseurs communs de 40 et 60 sont : {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20}. Il y en a donc 6. 3) On a réduit le prix de 120 – 84 = 36. Le pourcentage de réduction

de deux nombres premiers entre eux est : « Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux ; leur seul diviseur commun est donc 1. » 2. 1, 6 et 39 ne sont pas des nombres premiers car 1 n'est pas leur seul diviseur commun. 3. voir tableur 4. Exercice 4 pages 9 et 10 : a) liste des diviseurs de 45 et de 81 : D45= {45 ; 1 ; 3 ; 15 ; 5 ; 9} D81= {81 ; 1 ; 3 ; 27 ; 9}. Le PGCD de 45 et de 81 est 9. b) 1) 936-624=312 624-312=312

aussi intéressé à l'arithmétique dans le livre 7. Il a ainsi défini la division que l'on appelle division euclidienne et un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres, connu sous le nom d'algorithme d'Euclide. L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.