Diviseur

pair uk  14  100  , lorsque k est impair uk  14  50  100   64  100  . 5. On voit que le PGCD de 14 et 64 est 2 ; il faut donc montrer que c’est le cas. Comme on a 5un  un1  6 , la relation de Bézout montre que PGCD(un+1 ; un) est un diviseur de 6. Or 3 divise 3 mais pas 5 donc 3 ne divise pas 2un  5n2  3 . Conclusion : PGCD(un+1 ; un) = 2. Exercice 5 : Correction : www.tunisia-study.com ZHIOUA KHALED Page 3 www.tunisia-study.com ZHIOUA KHALED Page 4 Exercice

+ 1 − −2X 2 −4 7X + 5 2.2. pgcd Proposition 4 Soient A, B ∈ K[X ], avec A = 0 ou B = 0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B. Cet unique polynôme est appelé le pgcd (plus grand commun diviseur) de A et B que l’on note pgcd(A, B). 6 Remarque – – – – pgcd(A, B) est un polynôme unitaire. Si A |B et A = 0, pgcd(A, B) = λ1 A, où λ est le coefficient dominant de A. Pour tout λ ∈ K ∗ , pgcd(λ A, B) = pgcd(A, B). Comme pour les

c (n). • Pour tous entiers relatifs a, b et c, si a = b (n) alors a × c = b × c (n). 4/Nombres premiers. Decomposition en facteurs premiers. Soit n un entier supérieur ou egal a 2. n est premier si et seulement si n admet exactement deux diviseurs a savoir 1 et n. Il existe une infinite de nombres premiers. Tout entier naturel supérieur ou egal a 2 se décompose en produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique a l'ordre pres des facteurs. 5/PPCM, PGCD. On notera PGCD de

tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques. 1. Calculer, en justifiant les étapes, le nombre de tartelettes. Pour réaliser des tartelettes toutes identiques en utilisant tous les fruits, il faut que le nombre de tartelettes soit un diviseur du nombre de chacun des fruits disponibles, soit 411 et 685. Pour réaliser le nombre maximum de tartelettes, il faut que ce nombre soit le plus grand qui divise à la fois 411 et 685, c'est à dire leur PGCD. On calcule ce PGCD à l'aide de l'algorithme

CORRECTION NOTE DE SYNTHESE TD 6 Vous rédigerez une note de synthèse structurée sur le sujet suivant : Quel vous parait être le degré de réalisme des modèles de multiplicateur de base monétaire, et de diviseur de crédit ? (il est fort probable que nous n'aurons pas le temps de traiter la synthèse dans sa totalité, la correction simplifiée suivante pourra être envoyée aux étudiants) Introduction  Les modifications structurelles du commerce international, via le GATT puis l’OMC, ont profondément

n’a pas d’autres diviseurs que 1 et 7. 2 l a. 83 – 1 = 511 = 7 × 73 est divisible par 7. b. 233 – 1 = 12 166 = 22 × 553 est divisible par 22. 3 l a. n3 – 1 semble divisible par n – 1. b. n3 – 1 = (n – 1)(n2 + n + 1) c. Deux nombres de paquets possibles sont n – 1 et n2 + n + 1. 2 Format de tableau 1 l 1, 5, 7 ou 35 lignes. 2 l 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ou 48 lignes. 3 l a. 4, 9 ou 25. b. n doit être un carré. c. n = 16. 3 Un diviseur étonnant 1 l

Algorithmes A. Etude générale d’algorithmes : Donner une valeur de A Exercice 3043 Le diagramme ci-dessous représente l’algorithme d’Euclide déterminant le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers : Affecter ` a X la valeur A × 2 − 5 A et B A deux nombres Afficher la valeur de X + A Compléter le tableau ci-dessous : On effectue la division euclidienne de A par B B Valeur de A 0 3 −4 5 2 12 Valeur affichée •A prend pour valeur B D1 •B prend pour valeur r On considère l’algorithme

a comprendre pourquoi la succession d'etapes decrite par l'algorithme donne bien un resultat correct. Utilisation en informatique Les premiers algorithmes remontent a l'antiquite. Par exemple l'algorithme de calcul du plus grand commun diviseur de deux nombres, appele maintenant "algorithme d'Euclide". Il s'agissait en general de methodes de calcul semblables a celle que vous utilisez depuis le cours elementaire pour additionner deux nombres a plusieurs chires. Notez qu'a l'epoque

Solution 17.5 1. Si P ∧ πu = 1, le théorème de Bézout nous assure de l'existence de A, B dans K [X] tels que AP + Bπu = 1, ce qui nous donne A (u) ◦ P (u) = Id et P (u) est inversible, donc F = ker P (u) = {0} . Si P ∧ πu ̸= 1, il existe un diviseur commun irréductible P1 de P et πu . Si P1 (u) est inversible de 0 = πu (u) = P1 (u) ◦ Q (u) , on déduit que Q (u) = 0 avec deg (Q) < deg (πu ) , ce qui contredit le caractère minimal de πu . L'endomorphisme P1 (u) est donc non inversible et ker P1

–3, …. Cet ensemble se note Z. Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} et Z* = {…, –3, –2, –1, 1, 2, 3, …} Divisibilité dans N * Un nombre entier n est divisible par l'entier d non nul s'il existe un entier q tel que n = d q. On dit alors que d est un diviseur de n ou encore que n est un multiple de d. Quelques critères de divisibilité Dans le système décimal de numération le nombre entier n est divisible par • 2 s'il est terminé par 0, 2, 4, 6 ou 8 et dans ce cas ce nombre est dit pair (antonyme impair)