Diviseur

18. Montrer qu’un couple (U, V ) de matrices distinctes de GLn (K) v´rifiant (**) v´rifie (*). e e 19. D´terminer un couple (U, V ) de matrices de GL2 (K) (n = 2) v´rifiant (*) mais ne v´rifiant e e e pas (**) et d´terminer le plus grand commun diviseur des polynˆmes χU et χV . e o Dans la suite de cette partie, (U, V ) est un couple de matrices de GLn (K) v´rifiant (*) et tel que e χU et χV sont deux polynˆmes premiers entre eux. o Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B, on d´signe

0 ≤ r < b Ex. : 313 = 25 × 12 + 13 3 1 3 2 5 1 2 313 est le dividende - 2 5 6 3 25 est le diviseur 12 est le quotient - 5 0 13 13 est le reste II. PGCD : PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR Le PGCD de deux nombres entiers a et b est le nombre entier le plus grand qui divise à la fois a et b. On le note PGCD (a ; b). Ex. : 6 et 10 sont tous les deux divisibles par 2. 2 est seul diviseur commun à 6 et 10. 6=2×3 10 = 2 × 5 PGCD (6 ; 10) = 2 1° Décomposition en produit de facteurs

lequel il faut multiplier 284 pour obtenir un carré parfait ? 990 irréductible. ◮4. Rendre la fraction 462 29 48 ◮5. Calculer + . 990 462 Exercice 21 ◮1. Les nombres 70 866 et 8 649 sont-ils premiers entre eux ? ◮2. Calculer le plus grand commun diviseur (pgcd) de 70 866 et 8 649. ◮3. Simplifier la fraction 70 866 pour la rendre irréductible en indiquant la méthode. 8 649 Exercice 22 Calculer les expressions suivantes et donner l’écriture scientifique du résultat. A= 15 × 1010 × 350 × 10−9 60

deux polynômes non nuls, on dit que B divise A dans K[X], ou que A est un multiple de B, si et seulement si ∃Q ∈ K[X] tel que B = AQ. On note B/A. On dit qu’un diviseur de P est trivial s’il est de la forme λP ou bien λ avec λ un scalaire non nul. Définition 1.11. On dit qu’un polynôme P est irréductible si deg P ≥ 1 et tous les diviseurs de P sont triviaux. Autrement dit, si un polynôme A divise P , alors A = λ ∈ K, soit A = λP, λ ∈ K. 2 1.2 Division des polynômes Théorème 1.12. ∀(A, B) ∈ K[X]

Soient p, q ∈ Z, on a pZ + qZ et pZ ∩ qZ sont des idéaux de Z, il existe donc deux entiers d, m tel que pZ + qZ = dZ et pZ ∩ qZ = mZ. Montrons que d = pgcd(p, q) et m = ppcm(p, q). • d = pgcd(p, q) pZ ⊂ pZ + qZ = dZ =⇒ d/p et de même d/q Soit r un diviseur commun de p et q, on aura pZ ⊂ rZ et qZ ⊂ rZ donc pZ + qZ ⊂ rZ c’est à dire dZ ⊂ rZ et par suite r/d, ainsi d = pgcd(p, q). • m = ppcm(p, q) mZ = pZ ∩ qZ ⊂ pZ donc p/m et de même q/m. Soit M un multiple commun de p et q, on aura MZ ⊂ pZ et de même

entier relatif. Exemples : 4321 = 4,321 × 103 56,2 × 10−3 = 5,62 × 101 × 10−3 = 5,62 × 10−2 0,0045 × 10−2 = 4,5 × 10−3 × 10−2 = 4,5 × 10−5 Arithmétique Exemple : Simplifier la fraction 133 112 . Recherchons le Plus Grand Commun Diviseur de 133 et 112 à l’aide de l’algorithme d’Euclide (touche ÷ R de la plupart des calculatrices). 133 = 112 × 1 + 21 112 = 21 × 5 + 7 21 = 7 × 3 + 0 7 est le dernier reste non nul de

deux polynômes non nuls, on dit que B divise A dans K[X], ou que A est un multiple de B, si et seulement si ∃Q ∈ K[X] tel que B = AQ. On note B/A. On dit qu’un diviseur de P est trivial s’il est de la forme λP ou bien λ avec λ un scalaire non nul. Définition 1.11. On dit qu’un polynôme P est irréductible si deg P ≥ 1 et tous les diviseurs de P sont triviaux. Autrement dit, si un polynôme A divise P , alors A = λ ∈ K, soit A = λP, λ ∈ K. 2 1.2 Division des polynômes Théorème 1.12. ∀(A, B)

problème de calcul. L’énoncé du problème spécifie la relation input / output souhaitée. Notion d’algorithme 4 Exemples : 1. Multiplication Input : deux entiers a et b Output : leur produit ab Algorithme : celui de l’école 2. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Input : deux entiers a et b Output : pgcd(a,b) Algorithme : celui d’Euclide 3. Primalité Input : un entier a Question : a est-il un entier premier? Cas spécial : problème de décision - output = réponse oui/non à une question. Notion d’algorithme

dit que le polynˆme A est divisible par le polynˆme B (ou que B divise e o o A et on note B/A) si le reste de la division euclidienne de A par B est nul. D´finition 1.1.4 Si B divise A1 et A2 alors B est dit un diviseur commun de A1 et A2 . e D´finition 1.1.5 Si A1 et A2 n’ont pas de diviseurs communs de degr´ sup´rieur ou ´gal ` e e e e a 1 alors A1 et A2 sont dits premiers entre eux. Exemple 1.1.4 Etudier si les polynˆmes A1 et A2 sont premiers entre eux o 1. A1 (x) = 2 + 11x + 27x2 + 39x3 + 31x4

− 2 ?3 −1 −? 2 − ? − 1 ?3 − 1 1 ? 3 − ? 2 − ? − 2 = (? 3 − 1) × 1 + (−? 2 − ? − 1) ?3 −1 ?3 + ?2 + ? −? 2 − ? − 1 −? 2 − ? − 1 0 ?2 + ? + 1 ?−1 ? 3 − 1 = (? 2 + ? + 1)(? − 1) −? 2 − ? − 1 ????(?, ? ) = = ?2 + ? + 1 −1 2. ? 2 + ? + 1 est un diviseur de ? (et de ? bien sur) donc on peut mettre ? 2 + ? + 1 en facteur dans ?. ?3 − ?2 − ? − 2 ?3 + ?2 + ? −2? 2 − 2? − 2 −2? 2 − 2? − 2 0 ?2 + ? + 1 ?−2 Comme ? 2 + ? + 1 est irréductible dans ℝ[?], la factorisation de ? est : ? = (? − 2)(? 2 + ?