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Quelques m´ thodes math´ matiques pour le traitement e e d’image cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 2 janvier 2009 ` Ce cours est une introduction a la th´ orie math´ matique de traitement de l’image . Il est donc e e incomplet car les m´ thodes dans ce domaine sont nombreuses et vari´ es. On se polarisera sur e e les m´ thodes variationnelles. e M. Bergounioux Master 2 - 2008-2009 cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 2 Chapitre 1 Introduction 1.1 cel-00125868, version

existe une unique fonction exponentielle de base q qui admet 1 pour nombre dérivé en 0. On l’appelle LA fonction exponentielle, et elle se note « exp : x | ex ». La base « e »2 de cette fonction est un nombre irrationnel. Une valeur approchée est e ≈ 2,718. LA fonction exponentielle est UNE fonction exponentielle (celle de base e). Elle possède donc toutes les propriétés de ces fonctions : relation fonctionnelle, continuité, mais aussi dérivabilité. Propriété : La fonction exponentielle est égale à

1 3x + 6 dx ; D = ∫ (2 x + 1)3dx ; E = ∫ dx ; T = ∫ 2 2 4 0 1 ( x + 4 x + 3) 0 5x 2 C=∫ 1 x (x ) +1 2 3 dx π π 3 e ln x 3 cos x 4 3 2 4 dx ; G = ( 3 x − + x ) dx ; J = dx ; = dx ; H = K ∫2 ∫π6 sin 2 x ∫1 x ∫04 tan( x)dx 0 (3 − 2 x ) 4 x2 F =∫ 1 π 1 L = ∫ 3 sin x cos 3 x dx ; N = ∫ x( x 2 + 1)5 dx ; 0 P=∫ 0 π 1 x + 3 dx ; D = ∫ 4π tan 2 ( x)dx −2 − 4 π 1 0 1 + ln x π dx ; R = ∫ 3 cox(2 x + )dx ; U = ∫ ( x + e x )dx ; K = ∫ ( x 2 + x) e 2 x dx 0 1 0 −1 x 3 π 1 2 π 3x tan(

calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du xxe siècle, par des calculatrices. Pour les calculs, le logarithme décimal (c'est-à-dire en base dix) était le plus communément utilisé. Le logarithme népérien (ou naturel) est celui qui utilise le nombre e comme base, il est fondamental en analyse mathématique car il est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme binaire, qui utilise 2 comme base, est utile pour les calculs appliqués, et en informatique théorique. Une échelle

estmultiplié facteur 1,12'; sur3 ansgr 1,123 ; sur5 anspari,125; ...i surN anspar1,'12N. Cetteévolution estappelée exponentielle, et doitpouv o i rs ' é v a l u earu s s ip o u rd e s n o m b r enso ne n t i e r s d'années. b) Fonction exponentielle de basea (a> 0) c'est-à-dire la fonction 10',et l'exponentielle debasee (oùe = 2,71828...), soit e',couramment appelée fonction exponentielle. Comme lemontre I'exemple grandeur introductif, toute évoluant d'unemanière multiplicative stable s'exprime

]0 ; +∞[ par la fonction ln est donc 2) Le nombre e Puisque la fonction ln est une bijection de ]0 ; +∞[ dans solution dans ]0 + ∞[. Définition On note e l'unique solution de l'équation ln x = 1. Ce nombre e s'appelle base du logarithme népérien.   . , pour tout réel λ l'équation ln x = λ admet une unique On a donc ln e = 1. Le nombre e s'obtient avec une calculatrice avec la touche ex et x = 1. On obtient e Plus généralement, ln e = p ln e = p, relation pratique pour la résolution des équations

est unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0

Conjecture de Goldbach : approches alg´brique et e g´om´trique bas´es sur les restes modulaires e e e Denise Vella 1er Novembre 2008 1 Introduction La conjecture de Goldbach (1742) ´nonce que tout nombre pair 2a sup´rieur e e ou ´gal ` 4 est la somme de deux nombres premiers p et q. Le nombre p et e a le nombre q sont appel´s des d´composants de Goldbach de 2a. Cette note e e pr´sente deux visions de la conjecture de Goldbach, une vision alg´brique et e e une vision g´om´trique, toutes deux bas´es

n  a mn 6- a   a m n m/ n Une base importante pour les fonctions exponentielles est le nombre e , appelé ainsi en n l’honneur de Léonard Euler. Il s’agit de la limite de 1 1 n  lorsque n   . Son approximation numérique est 2,718281828… 2 Création Nicolas Vaillant, modifications M.Buisine – Mathématiques – L1 Gestion & CFA Comme e  1 , y  e x est une fonction exponentielle croissante. On l’utilise lorsqu’une quantité exponentielle change continument ; c’est

+ b1X1 + b2X2 + … + bnXn) + εi   Pour la régression logistique, c’est la même chose, mais en ajoutant la transformation logarithmique. Par exemple, l’équation pour 1 prédicteur est la suivante : [pic] où : P(Y) est la probabilité que Y arrive e est la base des logarithmes naturels Les coefficients b0 et b1 représentent la combinaison linéaire du prédicteur et de la constante.   La régression à plusieurs prédicteurs est donc formulée ainsi :    [pic] Il faut toutefois se rappeler