Ensemble convexe

semaine 12 Chapitre 09 : Eléments de logique et de théorie des ensembles I. Eléments de logique 1. Connecteurs logiques 2. Implication et équivalence 3. Règles de négation II. Méthodes de démonstration 1. Par implication 2. Par disjonction de cas 3. Par contraposition 4. Par l’absurde III. Notations et vocabulaire sur les ensembles 1. Appartenance : définition en extension et en compréhension d’un ensemble. Définitions de ∈, singleton et ensemble vide ∅ ou { }. 2. Quantificateurs : définitions de ∀, ∃ et ∃

théorie des ensembles Un ensemble est une collection d’objets finis, non ordonnées, à différencier de la séquence (où l’ordre est important) et du multi-ensemble (où les doublons sont acceptés)      Un ensemble : {A1, A2, …, An} est noté par concaténation de ses éléments : A1 A2 An Une séquence est notée : Les notations A1 A2 A3 et A2 A1 A3 sont équivalents L’ensemble A1 A1 A2 n’existe pas A1 A2 U A3 sera noté A1 A2 A3 Définition 2 : Attributs et domaines Soit U un ensemble de noms

nombres entiers. Il faut en effet en ce cas remplacer la contrainte x ∈ R3+ par x ∈ Z3+ x1 = Exemple 2 : r´ epartition de tˆ aches sur des machines Enonc´e Un ing´enieur syst`eme est confront´e au probl`eme suivant. Soit un ensemble de tˆaches ind´ependantes et un ensemble de machines dont les caract´eristiques sont : – pour les tˆaches : – le besoin en capacit´e de calcul – le besoin en m´emoire – pour les machines : – la capacit´e de calcul – la capacit´e m´emoire Un coˆ ut sera d´esign´e pour

vendre à tout instant; 3. On peut emprunter et vendre à découvert; 4. Les échanges ont lieu sans coûts de transaction; 5. On peut emprunter et prêter au même taux constant r. 1.2 Arbitrage Quelles sont les évolutions possibles du marché? Ω: ensemble des états possibles du marché; P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des états. Quelles sont les stratégies d’investissement? Définition 1.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie d’achat ou de vente de titres

ÓÒ× ´ µ  ´ µ ´ µ   Ó Ð³ÓÒ ¾µ · Ð ÒÓØ Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ · Ö Ò ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ÒØÖ ÙÜ Ò× Ñ Ð ×¸ º´ Ö µ ´ Ö µ · Ò Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Æ º ÉÙ³ Ò Ö ×ÙÐØ ¹Ø¹ Ð ÔÓÙÖ ËÓ Ø Ò ¾ Æ £ º ÅÓÒØÖ Ö ÓÑ Ò ØÓ Ö Ñ ÒØ ÕÙ Õ Ò ¾ Õ¾Æ Õ Ò Õ¾Æ Õ Ò ¾ ¾ ·½ ¦ Ò ½℄ un ensemble quelconque de cardinal Ò. On veut donc montrer que l’ensemble des parties de cardinal pair est de mˆeme cardinal que celui des partie de cardinal impair. Pour cela, on choisit , et on d´efinit l’application ´ µ ´ µ qui `a une partie È associe È si

des événements A d’un espace mesurable (Ω, A). • Tribus Dans toute la suite nous adoptons les notations standards : – Ω est un ensemble (fini ou infini). – P(Ω) est l’ensemble de tous les sous-ensembles (parties) de Ω. Rappel 1 (Dénombrabilité) Soit E un ensemble. E est dit dénombrable s’il existe une bijection entre E et N ou un sous-ensemble de N. Par exemple, un ensemble fini, Z, D, Z × Z, Q sont dénombrables. En revanche, R n’est pas dénombrable. Définition 1.1.1 Soit une famille F de parties de Ω

ces professionnels n’ont pas donné de suite à notre demande. Cependant, plusieurs groupes ont eu des rendez-vous avec des professionnels tels qu’une psychiatre de la clinique du Rouvray à Sotteville, ainsi que des professionnels d ’« Adoma » et « Ensemble ». Mises à part les rencontres avec les professionnels, d’autres rencontres ont été organisées : celles des étudiantes avec des vieux immigrés.

Notations P(Ω) : ensemble des parties de l’ensemble Ω. R = R ∪ {−∞, +∞} . V : ensemble des variables aléatoires. RR : ensemble des signaux déterministes défini sur R à valeur dans R. S : ensemble des signaux aléatoires. S : ensemble des signaux aléatoires stationnaires, ergodiques et lisses. n I n (ou Is ) : ensemble des n signaux aléatoires statistiquement indépendants. n G n (ou Gs ) : ensemble des n signaux aléatoires mutuellement gaussiens. Mu : ensemble des moments d’un vecteur

aussi des relations avec la philosophie, les arts plastiques, la musique et même les jeux et la littérature. Théorie des ensembles Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : Navigation, rechercher La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des

il se rend alors en Suisse. Les Alliés lui refusant le visa qui lui aurait permis de s’installer en RFA, c'est grâce aux Tchèques qu'il peut rejoindre la RDA. En 1949, il s'installe définitivement à Berlin-Est et fonde avec sa femme le Berliner Ensemble où il exprime ses prises de position socialistes. Il reprend et précise le théâtre épique fondé par Piscator qu'il oriente autour de l'effet de distanciation (Verfremdungseffekt) et qui s'oppose à la tradition d'un théâtre dramatique d'identification