Entier algébrique

Qu‘est ce qu’un dessert lacté ? S’il existe une multitude de desserts lactés, ils doivent cependant tous répondre aux mêmes points communs, à savoir : • Etre composés d’au moins 50% de lait. Ils sont généralement fabriqués à partir de lait entier, écrémé ou partiellement écrémé. • Etre sucrés ou parfumés. • Ils ne contiennent généralement pas de ferments lactiques, car la préparation est souvent cuite, ce qui détruit ainsi tout ferment encore présent. • Les ingrédients principaux

suite arithmétique (vn )n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n2 + 12n. 3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un = 4n2 + 12n + 5 . 4 Valider la conjecture émise à la question 1. b.. et, pour tout entier n 1, un = 1+ 2 n un−1 + 6 n Exercice 4 (5 points) Candidats ne faisant pas l’option spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit (C) le cercle de centre

l’ensemble {1; 2; 3; 8; -25} II Les ensembles de nombres : a) Les entiers Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…} Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…} Exemples : 3[pic]N ; Et 3,5[pic]N On a N[pic]Z b) Les décimaux Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un entier naturel. Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la

discriminant ∆. Si ∆ < 0 pas de factorisation sauf si évidente… Si ∆ = 0 alors P(x) = a(x + b 2 2a ) Si ∆ > 0 et si les deux acines sont x' et x" alors P(x) = a(x – x')(x – x") IV] Propriétés des puissances a et b réels non nuls, n et p des entiers relatifs alors : a = 1 a xa = a 0 n p n+p (a ) = a n p np an ap =an-p 1 1 La racine carrée correspond à la puissance 2, alors que la racine nième correspond à la puissance n V] Autres rappels Pour qu'un produit de facteurs

tfiTD 4 p 24 1. a. Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est dans l’ensemble : {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}. b. Si k = 0, 10k = 1, le reste de sa division euclidienne par 2 est donc 1. Si k ≥ 1, 10k = 2 × (5 × 10k-1), 10k est donc divisible par 2 ; le reste de sa division euclidienne par 2 est 0. On a donc pour tout k > 0, 10k ≡ 0 [2], donc ak 10k ≡ 0 [2]. On en déduit que N ≡ a0 [2]. Ainsi N et son chiffre des unités ont le même reste dans la division euclidienne par

Cours Premi`re ES-sp´L e e ´ Etude de fonctions 1 1.1 Sens de variation Lien avec la d´riv´e e e Th´or`me 1 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I. e e 1. f est croissante sur I si et seulement si f ’ est positive sur I. 2. f est est d´croissante sur I si et seulement si f ’ est n´gative sur I. e e 3. f est constante sur I si et seulement si f ’ est nulle sur I. 1.2 Exemples 1. f (x) = x2 f est d´finie et d´rivable sur R et : e e f ′ (x)

d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant : 2x = 3 y et x un entier pair Le reste de la division euclidienne de y par 4 est : a) 2 b) 1 c) 0 Exercice 2: (5points) 1° a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n  0, le reste de la division euclidienne de 2 4 n par 5 est égal à 1. b) En déduire le reste de division euclidienne par 5 de chacun des nombre 2

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

Devoir a la maison n°3 ` Correction ⊲ Exercice 1 Inégalité de Bernoulli Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel x > −1, on a (1 + x)n 1 + nx. Soit x ∈ ]−1 ; +∞[, montrons par récurrence sur n ∈ l’hypothèse de récurrence Hn : Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx. x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On a (1 + x)0 = 1 et 1 + 0 × x = 1 donc (1 + x)0 1 + n0 × x et H0 est bien vraie. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On

Terminales STG Ressource 716, http://www.capmention.fr/ D.Pinel, http://www.capmention.fr/ Test 02 Terminale STG Comptabilité Finance 1 heure – calculatrice autorisée – Barème donné à titre indicatif Exercice I [5 pts] Pour chacune des propositions qui suit, une seule proposition est exacte. Copier la lettre correspondante sur votre copie. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise en enlève 0.5. On peut ne pas répondre à une question… Q1. Soit un la suite arithmétique de premier terme