Entier algébrique

pas indépendants. 5. Il faut calculer p N3 (R3 ) = p (R1 ∩ N3 ) = p (N3 ) 16 75 2 5 = 16 5 8 × = . 75 2 15 E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité n 5 points Sn = p 3 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus p=1 grand commun diviseur de Sn et Sn+1 . 1. Démonstration par récurrence : 1(1 + 1) 2 = 1. 2 n(n + 1) 2 . – Hérédité : supposons qu’au rang n, Sn = 2 2 n(n + 1) n2 Donc Sn+1 = Sn + (n + 1)3 = + (n + 1) = + (n + 1)3

b/ [pic] c/ [pic] d/ [pic] e/ [pic] f/ [pic] Activité n°2 [pic]est un nombre positif. 1./ Ecris sous la forme [pic] chacune des sommes suivantes où [pic]et [pic]sont des entiers positifs. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 2./ simplifie chacune des expressions suivantes  [pic] [pic] [pic] Activité n°3 Codjo, un élève de 3e , a écris sur son tableau : [pic] [pic]

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

Universit´e de Paris Ouest-Nanterre Licence de Sciences ´Economiques 1`ere ann´ee Ann´ee 2008-2009 Cours de Math´ematiques I Patrice Bertail (UPA) Fran¸cois M´etayer (UPC) Philippe Soulier (UPB) Notes r´edig´ees par Salah Mehdi, Laurent Mesnager et Philippe Soulier Table des mati`eres 1 Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle 4 1.0 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Fonction num´erique d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . .

Question 4. A = 2 ln Erreur! Signet non défini. + 5 ln 2 + ln Erreur! Signet non défini. A = 2 (ln e – ln 4) + 5 ln 2 + ln 8 – ln e A = 2 – 2 ln 2 2 + 5 ln 2 + ln 2 3 – 1 car ln e = 1 A = 1 – 2 × 2 ln 2 + 5 ln 2 + 3 ln 2 car pour tout entier relatif n, ln(2 n) = n ln(2) A = 1 + 4 ln 2. Série ES Pondichéry – avril 2008 Correction de l’exercice 2 obligatoire Question 1. On obtient l’arbre de probabilités suivant : Les probabilités notées en rouge ont été calculées en appliquant

tangente en un point au graphe d’une fonction Calcul de limites 6 6 6 7 7 Premi` re partie e Calculs sur les nombres et combinatoire ` Tous les exercices suivants sont a faire sans calculatrice. On rappelle que la factorielle d’un nombre entier n positif est d´ finie par n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1. Par exemple, e 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 1. Simplifier 10! 8! puis 10001! 9999! 2. Factoriser les expressions suivantes : • 13! − 10! Simplifier les expressions suivantes : • n! +

Un type est défini par un ensemble de constante et l’ensemble des opérations que nous pouvons leur appliquer. II. Les cinq grands types d’objet a. Objet numérique : type entier ou type réel - Ensemble des constantes Z pour le type entier Z s’appelle ensemble des entiers relatifs qui possèdent l’ensemble des entiers positifs et négatifs, R pour le type réel ce sont tous les nombres. - Ensemble des opérateurs : toutes les opérations arithmétique et trigonométrique. b. Type booléen -

définition : u p+2 = u p+1 − u p = 2 2 2 2 2 4 2 En utilisant la relation (*), on obtient : 1 3 1 u p+2 = × 2 u p+1 − 3 + = u p+1 . 4 2 2 La relation est vraie au rang p + 1. c. 2. a. b. c. 1 On a donc démontré par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + 3. 2 Cf. figure ci dessous La suite semble être croissante, convergente vers l’ordonnée du point commun aux deux droites c’est-à-dire 6. 1 1 1 1 v n+1 = un+1 − 6 = un + 3 − 6 = un − 3 = (un − 6) = v n . 2 2 2 2 1 Cette égalité

BAC Pondichéry 2010 D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ Pondichéry 2010, Corrigé EXERCICE 1 Partie A. Supposons que sur I=[a,b] on ait f ≤ g : posons h = g – f. > la fonction h est continue sur I comme différence de deux fonctions continues. > la fonction h est positive sur I puisque f ≤ g sur I. ∫ h≥0. D’après le prérequis 1, on a aussi ∫ h = ∫ ( g − f )

D’ après CCP 2006 -PSI première épreuve Notations. Pour tout entier naturel n, on note : n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1, [j0; nj] l’ ensemble des entiers naturels k véri…ant 0 n k k n, le nombre de parties ayant k éléments d’ ensemble de n éléments, pour k 2 [j0; nj]. un On rappelle : la valeur de n k = n! pour k 2 [j0; nj], k!(n k)! n n X1 1 =1+ + la somme k 2 k=1 En…n, si n est un entier naturel non nul, on note 0 + 1 et on pose n = 0. Objectifs. Dans