Entier algébrique

1ère  S4  :     15/10   CORRECTION  du  Devoir  Surveillé  n°1  –  1  heure     Exercice  1  :  (6  points)     2 1) Résoudre  l’équation   −2x − 7x +15 = 0 .     Δ=169  >0  donc  2  solutions  :  x1  =  -­‐5  et  x2  =  1,5         €     (2  points) 2 2) Donner  le  tableau  de  signes  de   f ( x) = −2x − 7x +15 .   x -∞ f(x)€ −5 ⎯ 1,5 + Ici : a = -2<0 +∞ ⎯ (1,5 point) 1

programme qui demande un nombre entier positif et qui donne tous les diviseurs positifs de ce nombre. Coder dans le langage de votre choix et tester-le sur différentes valeurs. Envoyer par mail le ficher. Partie B Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S ( n) le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de n. 1. Vérifier que S (6) = 12 et calculer S (7) . 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, S (n)  1  n . b. Quels sont les entiers naturels n tels que S (n)

b- En déduire pour tout n de  , on a : U n  2  2   . 4 c- Prouver que la suite U converge vers un réel que l’on précisera. 4/ Montrer que pour tout n de  , on a : U n  2n  3  2 n 2 . Retrouver ainsi lim Un . n  n 5/ Soit n un entier naturel non nul, on pose Sn   kU k k 1   3 n    a- Montrer que pour tout n de  , on a : 0  Sn  n n  1  6n 1     .  4  S b- Calculer lim n2 n  n  Exercice 3   Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct  O, u,

préalable au travail pratique 1 – AUT2015 - 20 1. Informations Remplissez le tableau suivant (utilisez autant de lignes que nécessaire). Identifiez les données nécessaires au fonctionnement du programme. Donnée : le nom que vous lui donnez. Type : Entier, Réel, Caractère, etc. Valeurs Valides : Valeur de la constante ou valeurs permises pour que le contenu d’une variable (calculée ou saisie) soit valide. Source : constante, saisie ou calculée. Utilisez/ajoutez autant de lignes que nécessaire. Donnée

Chapitre 1 Suites géométriques 1. Page d’ouverture • Énigme ✱ (Sn ) est la suite définie pour tout nombre entier n, par : 1 1 1 Sn = 1+ + 2 + …+ n . 2 2 2 En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, pour tout nombre entier naturel n, 1 n+1 1– ⎛ 2 1 n+1⎞ = 2 ⎜1– Sn = 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 1– 2 ⎛ 1n 1 n+1⎞ = 2 – S n = 2 ⎜1– 1+ . 0. 2 ⎟⎠ 2 ⎝ Donc la somme des aires des carrés ne dépassera pas 2 m². () () () () • Énigme ✱ ✱ 1 7 8 5 4    1. B et III.   2. A et II. 3. C et I

compris entre 1 et 100. En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs. Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits. 2 Le roi de la divisibilité ! Voir programmes sur le site Math’x. Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint

Suites : exercices Les réponses aux questions sont disponibles à la fin du document Exercice 1 : Soit (Un ) la suite définie par Un = n2 − n + 1. a) Calculer U0 et U10 . b) Exprimer, en fonction de n, Un + 1 et Un+1 . Exercice 2 : 1 . n+1 a) Exprimer Un+1 −Un en fonction de n. b) En déduire le sens de variation de la suite (Un ). Soit (Un ) la suite définie par Un = Exercice 3 : 1 Soit (Un ) la suite arithmétique de premier terme U0 = 4 et de raison r = . 2 a) Exprimer Un en fonction de n. b)

3 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − . 2 2 Partie A : Conjecture 1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 . 2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 . 3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ). Partie B : Validation des conjectures On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n, par : vn = un − 3. 1 1) Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = − v2n

exercices de mathématiques en terminale . Suite numériques et croissance comparée Exercice n° 1 : suites arithmétiques et géométriques . 1. Soit la suite arithmétique a. Calculer de raison r=-2 et telle que . b. Calculer . 2. Soit la suite géométrique a. Calculer b. Calculer . de raison et telle que . . . Exercice n° 2 : suites du type Un=f(n). Calculer les limites des suites suivantes : a. b. c. d. e. Exercice n° 3 : théorème de comparaison. Calculer les limites des suites suivantes

Exercice 1- 9 points Le but de cet exercice et d’établir , avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier De fonctions périodiques rencontrées en électricité. 1. On considère un entier naturel n strictement positif . Montrer que : [pic] et [pic]. 2. On considère la fonction[pic]définie sur [pic], périodique de période 2 , telle que : [pic] a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbe[pic]représentative