Entier algébrique

MT18 Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels

TD 2 : Repr´sentation d’un nombre entier relatif e Exercice 1 Repr´sentation des entiers relatifs : signe/module e 1. Donner les intervalles de codage sur 8 bits et sur 16 bits. Dans la suite de l’exercice, on travaille sur 8 bits. 2. Coder les entiers (+97)10 et (−34)10 . 3. D´coder (00110101)2 et (10110101)2 . e 4. Effectuer les additions : (a) 0110 1011 + 1011 1101 (b) 0110 1011 + 1111 0000 (c) 1001 0110 + 1011 1011. Exercice 2 Repr´sentation des entiers relatifs : compl´ment ` 2 e e a

cercle. 3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x + 2y = 1 et vérifiant z 25. b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant : −3x + 2y = 1 et z E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs

exposants Les propriétés des exposants entiers s’étendent à tous les exposants réels Propriétés Soient a, b, x et y des nombres réels, a et b étant strictement positifs. a0 = 1 a a =a x x y x+y a1 = a (a ) = a x y xy 1x = 1 ax x-y y =a a a- x = 1 ax (ab) =a b x x a x ax ( ) = x b b 2) Exposants 1/n Propriété Pour a > 0 et n entier naturel non nul :(an)1/n = a Exemple : (54)1/4 = 54×1/4 = 51 = 5 3) Equation xn = a (a > 0 et n entier positif) Le nombre a1/n est l’unique solution

Exercices de m´thodes num´riques1 e e L2 Informatique Sophie JAN2 Septembre 2009 plupart des exercices qui suivent sont tir´s des dossiers d’exercices r´alis´s par Jean-Paul Calvi e e e les ann´es pass´es e e 2 Institut de Math´matiques, Bˆtiment 1R3, Bureau 203 - sophie.jan@math.univ-toulouse.fr - 05 61 e a 55 76 58 1 La 1 Table des mati`res e 1 Interpolation polynomiale 2 Int´gration num´rique e e 3 Recherche de z´ros e 4 Syst`mes lin´aires : m´thodes directes e e e 5 Syst`mes lin´aires

Correction du baccalauréat S France juin 2002 E XERCICE 1 Commun tous les candidats 4 points 1. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement leur produit scalaire (le repère − − →→ est orthonormal) est nul. D’où U .V = 0 ⇐⇒ a(1 + b) − 5 + b(1 − a) = 0 ⇐⇒ a + b − 5 = 0 ⇐⇒ a + b = 5. Les tirages (a, b) favorables sont : (1, 4), (2, 3), (3, 2), et (4, 1) sur 4 × 4 tirages possibles. 4 1 − − →→ = . p U .V orthogonaux ⇐⇒ 16 4 2. a. D’aprs la question 1. A et B ont chacun 1 chance sur 4 d’obtenir

: TNS WORLDPANEL VIA CNIEL ans un marché en baisse, les marques réussissent à animer le segment des laits spécfiques, le seul à s’afficher en croissance. D Matin léger est l’une des satisfactions de Lactel, même si la déclinaison en lait entier est arrêtée. Candia a répliqué avec une offre délactosée sous la marque Candia Grandlait. Sans lactose UNE BAISSE STRUCTURELLE e lait est fortement concurrencé, notamment sur le segment du petit déjeuner. L ACHATS DE LAIT UHT PAR LES

VIRGULE EN TROP : IDENTIFICATION DE L’ORDRE DES MOTS PONCTUATION 1 Virgule, ordre des mots et inversion Virgule en trop : identification de l’ordre des mots ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ En cliquant sur le bouton « Rubrique grammaticale » dans notre site, vous pourrez, au besoin, consulter la notion théorique suivante : – Virgule www.ccdmd.qc.ca/fr Consigne ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

f . e. En déduire la limite de f en −∞. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle dn , l’aire, en unités d’aire, du domaine 1 du plan délimité par la courbe (C ), la droite (D) d’équation y = x et les droites 3 d’équations x = 0 et x = n. 1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, dn = 2. On admet que pour tout réel x, ln (1 + e−x ) e−x . 1. La suite n 0 ln 1 + e−x dx. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, dn (dn )n 1 est-elle convergente

programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille