Entier algébrique

16 ou ou 19 a) Le joueur doit saisir 0 pour Pile et 1 pour Face. b) Avec une Casio, on peut, par exemple, ajouter après l’affichage « Perdu… », l’instruction : 17 L’objectif est de simuler le jeu suivant : le joueur doit deviner le nombre entier, entre 0 et 9, obtenu « au hasard » par le logiciel. Avec une TI, on peut, par exemple, ajouter après l’affichage « Perdu… », l’instruction : 4 THÈME 4 Activité 1 (page 16) 23 1 En parcourant le pourtour du carré dans le sens inverse

suite (un) est arithmétique de raison r ce qui signifie que la différence de deux termes consécutifs quelconques de la suite est constante et égale à r, r étant, par exemple, la différence u1 - ua' Ceci se traduit par la proposition (P) : pour tout entier naturel n, un+1 - d'imaginer que la suite est _ métrique? b} Son premier terme est cellule Al. Quel est-il? ;0 u~ = u1 - ua' m ml Les nombres suivants « construite» des termes consécutifs d'une géométrique un tableur. Déterminez

Ingrédients * 8 blancs d’oeufs * 20 g de beurre pour le moule * 300 g de sucre en poudre * 1 pincée de sel * Pour le caramel : * 100 g de sucre en morceaux * 1 filet d’eau * Pour la crème anglaise : * 50 cl de lait entier * 8 jaunes d’oeufs * 100 g de sucre en poudre + 10 g (moule) * 1 gousse de vanille Préparation Préchauffez le four à 150°C(th. 5). Beurrez et sucrez un moule à charlotte. Montez les blancs en neige avec la pincée de sel. Lorsqu’ils

N désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn

pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici. n Un 50 500 1000 5000 10000 12000 Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U N >10 8 , il suffit de prendre N = Comme, de plus, la fonction carré est croissante sur ℝ+ , pour tout entier n … , on

S un ensemble et x un membre de cet ensemble. Un souse ensemble flou F de S est d´ finit par une fonction d’appartenance µF (x) qui mesure le e ` degr´ auquel x appartient a F. e Un exemple : Soit S un ensemble des entiers positifs et F un sous-ensemble flou de petits entiers. Des entiers peuvent avoir une distribution de probabilit´ qui indiquent leur e appartenance au sous-ensemble flou F : µF (1) = 1.0, µF (2) = 1.0, µF (3) = 0.9, ... µF (30) = 0.01. La figure 11.1 montre cette fonction d’appartenance

déduire les coordonnées des points M et N D EXERCICE 2 On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par : 1 5 points In = 1. 2 0 x n ex dx. 2 1 2 Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g . 2 (b) En déduire la valeur de I 1 . (c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a : 1 n +1 I n+2 = e − In . 2 2 (d) Calculer I 3 et I 5 . (a)

(x − c)2 . Les solutions maximales sont donc donn´es par y = (x − c)2 pour x ≤ c, y = 0 pour c ≤ x ≤ d e et y = (x − d)2 pour x ≥ d. On v´rifie bien sˆr que ce sont des solutions. e u Exercice 50 Montrer que l’´quation xy = x + y 2 admet une solution enti`re e e sur ] − 1, 1[. Soit y une solution de la forme y = ∞ ∞ k=0 ak xk . On a donc ∞ xy = x k=0 k(k − 1)ak xk−2 = k=1 ∞ k k=0 bk x (k + 1)kak+1 xk . ai aj . On aura donc a0 = 0, Bien sˆr, on a y 2 = u 1 a2 = 2 et pour k ≥ 2,

−11 Résoudre les inéquations suivantes : (donner les résultats sur un axe gradué, et sous forme d'intervalle)  2 x −3   3 x − 2   6 x² 20 −5 x 7  2  1,5 x  28  3) Voici la description d'un algorithme : “On part d'un nombre entier plus grand que zéro; s’il est pair, on le divise par 2; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.” Il ne s'agit pas ici de

soit ´quilat´ral de sens direct e e e exercice 2 : (5 points) pour tout entier n strictement positif, on consid`re la fonction fn d´finie sur e e (ln x)n e ]0; +∞[ par fn (x) = et l’int´grale In = 1 fn (x)dx e x2 1 + ln x 1) on pose F (x) = . Calculer F (x). en d´duire I1 . e x 1 2) en utilisant une int´gration par parties montrer que: In+1 = − +(n+1)In e e 3) en utilisant la question 2) , montrer par r´currence que,pour tout entier e 1 1 1 1 1 n strictement positif, on a: In = 1 − (1 + + + .... + ) n