Entier

représenter les trois sortes de valeurs. # # # Les valeurs numériques ( Ce sont tous les nombres avec lesquels on peut calculer). $ Type entier : ce sont les nombres entiers positifs, nuls ou négatifs. Il y a un entier positif maximum et un entier négatif minimum qui varient suivant le compilateur utilisé, généralement ces limites sont +32767. Un nombre entier ne doit contenir que des chiffres sans espaces, virgules ou point et peut être précédé des signes + ou -. $ Type réel : ce sont les nombres

mathématique. Définition d'une suite arithmétique. Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r   signifie que   pour tout entier naturel n,un+1 = un + r | Ainsi, si est une suite est arithmétique alors  : Autrement dit : Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de raison r  alors  pour tout entier n,un = u0 + n × r | De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques  alors :un = up + (n - p) × r | Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite arithmétique

l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46]. 1. On considère l’équation (E ) : où x et y sont des entiers relatifs. a. (−2; 1) est une solution de (E ) car −2 × 23 + 1 × 47 = 1. 23x + 47y = 1 5 points b. (x ; y) solution de (E ) ⇒ 23x + 47y = 1 23x + 47y = 1 par soustraction 23(x + 2) + 47(y − 1) = 0 ⇒ 23(x + 2) = 47(1 − y) ⇒ −2 × 23 + 1 × 47 = 1 Donc 23 divise 47(1 − y), mais 47 et 23 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 23 divise 1 − y. Donc il existe un entier relatif

I. Généralités sur les suites Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels. 1. Suites croissantes, suites décroissantes Définitions Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un infegal un+1. Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1. Méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare Un+1/Un

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

d’un carré de côté n Notions : Read() et Readln(), déclaration d’une variable de type Integer (nombre entier), affichage d’un nombre entier par n :m Ecrire un programme effectuant le calcul de l’aire d’un carré lorsque l’on entre la mesure d’un côté, celle-ci étant un nombre entier. Exercice 3 : somme de deux entiers Notions : idem exercice 2 Ecrire un programme effectuant la somme de deux entiers positifs. Exercice 4 : aire d’un carré de côté x Notions : Déclaration d’une variable Real (nombre réel)

 non nulle qui vérifie les conditions : • Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b) • f’(0) = 1 Propriétés : Preuve 4 Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif : • [pic] • [pic] • [pic] Remarque : Pour tout réel a : [pic]. Donc pour tout réel a, [pic]. Notations : Pour n entier [pic]. On pose e = exp(1) alors exp(n) = en. Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose pour tout réel x : exp(x) = ex. Ainsi : • [pic]

trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. Exercice 7 (Bonus +2) 2 2 2 En vous aidant de l'expression la somme des carrés fait 4 802. ( x−1) + x +( x+1) , déterminer trois entiers naturels consécutifs dont En vous aidant de l'expression 100. 4 x −100 , déterminer un entier naturel dont le carré du double est égal à 2 Exercice 8 (Bonus +1) Calculer le nombre de possibilités pour un mot de passe de 4 caractères où les caractères peuvent être soit une lettre de l'alphabet

nombres ................................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45 3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47 A. Des algorithmes .............................................

proposition est héréditaire. Principe raisonnement par récurrence. (1) (2) (3) Soit P(n) une proposition qui dépend de l’entier naturel n. Si la proposition P(n) est vraie pour l’entier n0. Si la proposition P(n) est héréditaire. Alors, pour tout entier n ≥ n0 , la proposition P(n) est vraie. Exemple avec corrigé détaillé. 1  un +1 = un + 1 Reprenons la suite de l’activité d’introduction  . Nous avons émis la conjecture que 2 u0 = −1  pour tout n, un ≤ 2 . Démontrons le par récurrence