Entier

(12 POINTS) PREMIERE EPREUVE (8 POINTS) MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES. EXERCICE 1 Soit N = mcdu un nombre entier naturel écrit en base dix pour lequel m>c>d>u>O. 1) Quel est le plus petit nombre N possible ? 2) Quel est le plus grand nombre N possible ? 3) Dressez la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6. On appelle N' le nombre entier obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités avec celui des unités de mille et le chiffre des centaines avec celui

Comme, pour tout entier n, xn0, on en déduit que : xn ln(x + 1) x n + 1 ln(x + 1) Par intégration sur [0 ; 1] on en déduit que : ou bien : un u n + 1 Donc la suite (un) est décroissante sur N. La suite (un) converge-t-elle ? Comme, pour tout entier n, x n ln(x + 1) 0, on en déduit que 0 ou bien u n 0. Finalement la suite (un) est minorée par 0 et décroissante donc elle est convergente. 2) Démontrer que pour tout entier naturel n non

nombres irrationnels 1. Supposons n rationnel. Il existe deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que : n= p et q dans ce cas : p 2 = n q 2 . Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers p2 et q2 le sont aussi1… D’après le théorème de Gauss, p2 divise n : il existe un entier naturel u tel que : n = p 2 u . Ou bien n = u = 0 auquel cas n est entier, de même que sa racine carrée, ou bien les entiers u et q vérifient la relation : 1 = u q 2 qui n’est réalisée que si

rationnels π 3  Ensemble des nombres décimaux  Ensemble des entiers naturels 2 − 2 12,57 0 1 2 13 457 25 −π 3 5 1+ 5 2 Nombres irrationnels : Nombres réels non rationnels 8 2 - 0,358  -1 − 8 2 -2 1 4 1 3 7 6 Ensemble des entiers relatifs  1 -6 29 15 − 3 7 Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Un nombre rationnel peut donc s’écrire sous la forme a avec b ≠

caract´ris´e par leur e e e bijection avec les d´rangements. e Le mod`le que nous proposons, qui est diff´rent de celui de Garsia et e e Remmel, peut ˆtre en revanche d´fini a priori. e e Soit σ = σ(1)σ(2) . . . σ(n) une permutation. On appelle creux de σ un entier i, 1 ≤ i ≤ n tel que σ(i − 1) > σ(i) < σ(i + 1). 2 ´ ´ INTERPRETATION DU NOMBRE DE DERANGEMENTS (Par convention, on convient que σ(0) = σ(n + 1) = +∞ .) On note alors Kn l’ensemble des permutations de [n] dont le plus petit creux (que nous

calculer les puissances d’un nombre entier. Savoir utiliser les égalités suivantes : m n a xa =a m+n n n n , (ab) = a x b , a m =a m-n , où a, m et n sont des entiers relatifs non nuls. a Connaître la définition d’une puissance de 10. Savoir calculer les puissances de 10. Savoir écrire un nombre décimal sous forme de puissance de 10. Savoir utiliser les égalités suivantes : 1 -n mn m n m+n m n 10 x 10 = 10 , n = 10 , (10 ) = 10 où m et n sont des entiers relatifs. 10 Connaître la définition

tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n 4 + 1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n). 1. Quelques résultats a. Étudier la parité de l’entier A(n). b. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3. c. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n. d. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n8 ≡ 1 mod d . 2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels

Les suites numériques I/Définition générale Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u. (Un)n >/= 0 Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u. On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie

à ne pas commettre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 26 1 1.1 Le symbole Σ Etude d’un exemple Nécessité d’une nouvelle notation. La somme Sn des entiers impairs 1, 3, 5,..., 2n − 1 s’écrit Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1). Cette notation cohérente se révèle à l’usage pleine de pièges. En effet, que signifie l’écriture 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) quand n vaut 1, 2, 3 ou même 4 ? Si on ne réfléchit pas

vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. 1. Existence et unicité a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant