Entier

− c|2 b +c est imaginaire pur. c. En déduire que le nombre complexe b −c 2. Soit H le point d’affixe a + b + c. −→ −→ − − a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs AH et CB . π −→ −→ − − b. Prouver que CB , AH = + kπ, où k est un entier relatif quelconque. 2 π −→ −→ − − (On admet de même que CA , BH = + kπ). 2 c. Que représente le point H pour le triangle ABC ? E XERCICE 2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points → → − − Le plan complexe est

pas de point. Une réponse fausse n’enlève pas de point. Affirmation 1 : Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 2, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Affirmation 2 : Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 4, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine par 16. Affirmation 3 : 18 est un nombre décimal. 120 Affirmation 4 : Tout nombre entier impair est premier. Affirmation 5 : Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle

Maths 1 Nombre (entier) relatif Un nombre (entier) relatif est un nombre muni d’un signe positif (+) ou d’un signe négatif (-) qui indique sa position par rapport à 0. Les nombre positif sont supérieurs à 0 et les nombres négatifs sont donc inferieurs à 0. Le nombre entier 0 est le seul nombre à être à la fois négatif et positif. Voici une droite des nombres, cela permet de représenter les nombres (entiers) relatifs. Les positifs et négatifs sont des opposés (ex : -1 est l’opposé de

2eme Partie : Un r´ sultat d’approximation e A. Quelques r´ sultats pr´ liminaires e e 1. (a) Justifier que pour tout r´ el x > 0, ln x e (b) En d´ duire que pour tout entier n e 2. (a) Justifier que pour tout r´ el x, ex e (b) En d´ duire que pour tout entier n e (c) Montrer que pour tout entier n (d) En d´ duire que pour tout entier n e ´ Epreuve de Math´ matiques I e x − 1. 0. (1 − t2 )n . u2 −u . ne u 1 et tout u ∈ [0, n], e−u − (1 − n )n x + 1. 1 et tout r´ el t ∈ [0, 1], (1 − t)n ent e

binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par . Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, . On donne sur la figure ci-dessous une partie de la courbe représentative de la fonction f ainsi que la droite d'équation . Zoom 1. a) Sur l'axe des abscisses, placer

|eiθ | = 1. • Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ). ′ ′ • eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) . 1 • iθ = e−iθ = eiθ . e eiθ ′ • iθ ′ = ei(θ−θ ) . e n • Pour tout entier relatif n, eiθ = einθ . Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , • arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π). 1 • arg = arg(z) = −arg(z) (2π). z z • arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π). z • Pour tout entier relatif n, arg(zn ) = n.arg(z) (2π). Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes Tout nombre complexe non nul z s’écrit

DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS 1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! *

Soit (un)n∈N une suite réelle. • La suite (un)n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un. La suite (un)n∈N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 6 un. • La suite (un)n∈N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un. La suite (un)n∈N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un. • La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n∈N est croissante

 Exercice 1 (6 points) Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite a) b) c) d) e) f) g) +.... Exercice 2 (4 points) Soit la suite définie par et , pour tout entier naturel n, choisir UNE méthode AU CHOIX méthode 1 a) Démontrer que pour tout  ; b) Démontrer que la suite est croissante. c) En déduire que la suite est convergente puis déterminer sa limite. ou Méthode 2 Soit la suite définie par a) Montrer

algorithmique sont : le type entier le type réel le type caractère le type chaîne de caractères le type logique ou booléen. VI.1. le type entier Une variable est dite entière si elle prend ses valeurs dans Z (ensemble des entiers relatifs) et qu’elle peut supporter les opérations suivantes : Opération Addition Soustraction Multiplication Division entière Modulo (reste de la division) Exemples 13 div 5 = 2 13 mod 5 = 3 L’ensemble de valeurs que peut prendre un entier varie selon le langage de programmation