Entier

Le nombre zéro est un objet mathématique permettant d’exprimer une absence comme une quantité (nulle) : c'est le nombre d'éléments de l’ensemble vide. Il est conçu comme le plus petit des entiers naturels. Ses propriétés arithmétiques particulières, en particulier l’impossibilité de la division par zéro, impliquent parfois de traiter son cas à part. Il sépare les nombres réels en positifs et négatifs, tient lieu d’origine pour repérer des points sur la droite réelle. Plus généralement, zéro désigne

tout entier naturel n. 2 9 − 6U n +U n (U n − 3)2 9 −U n = = . 6 −U n 6 −U n 6 −U n On vient de démontrer que U n < 3 < 6, donc le dénominateur est positif et le numérateur (carré) aussi. On a donc U n+1 −U n > 0 ⇐⇒ U n+1 > U n : la suite est croissante (strictement). b. On a U n+1 −U n = f (U n ) −U n = c. La suite (U n ) est croissante et majorée par 3 : elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. Baccalauréat S 3. Soit la suite définie par Vn = 1 pour tout entier naturel

Nombres Entiers (fractions, PGCD..) : I. Nombre Entiers Un nombre entier à au moins deux diviseurs, 1 et lui-même. Définition : un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Exemples : 2,3,5,7,11,13 sont des nombres premiers mais 9 n'est pas un nombre premier : il a 3 pour diviseur. Si « a » est diviseur de « b » alors il existe un entier « n » tel que : b= a x n. II. Plus grand diviseur commun à deux entiers (PGCD) : Définition : le plus grand diviseur

Math révisions 1) Nombres entiers et rationnels : Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls Les entiers relatifs sont les entiers négatifs, positifs, ou nuls (c’est-à-dire tous les entiers naturels et leurs opposés) Les décimaux sont les nombres s’écrivant sous la dorme a/10^n avec a et n entiers relatifs. (ce sont les nombres à virgule = partie décimale finie) Les rationnels sont les nombres s’écrivant sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul Les irrationnels

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . ℕ = {0 ; 1; 2 ;3 ; 4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . ℤ = { 3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...}. ...− Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres

l’expression conjuguée n+n ne permettait pas de lever l’indétermination puisque cela aboutit à une nouvelle forme indéterminée (de type l’infini sur l’infini) Exercice 2 Soit u la suite définie par un= 2n-n3n, n∈ℕ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 2n-n est positif. En déduire un minorant de la suite u. On a : 20-0&gt;0 Posons comme hypothèse de récurrence que, pour une valeur donnée de n on a : 2n-n&gt;0. On a : 2n+1-(n+1)=2×2n-n-1=2n-1+2n-n Or, d’après l’hypothèse de récurrence

1 ES Correction DS no 14 (sur 10 points) dur´e 20mn e ( 3 points ) Exercice 1 On consid`re la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par : un = e e 1. n−1 n+2 Quelle est la fonction f associ´e ` la suite (un ) d´finie sur [0; +∞[ ? e a e  Solution: La fonction f d´finie par f (x) = e et on alors un = f (n) = 2. Calculer f (x).  Solution: On pose u(x) = x − 1 et v(x) = x + 2 on a donc u (x) = 1 et v (x) = 1 u (x)v(x) − u(x)v (x) (x + 2) − (x − 1) 3 f (x) = = = 2 2 (v(x)) (x + 2) (x +

qu’il existe un entier k tel que a  bk . b) Si a divise b et si b divise c, alors a divise c. c) Si d divise a et b, alors pour tous entiers relatifs m et n, ma  nb est divisible par d (ou ma  nb est un multiple de d). d) La division euclidienne de a par b se traduit par a  bq  r où q et r sont des entiers naturels tels que 0  r  b . e) a  b (mod m) signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m. f) Si a  b (mod m) , alors pour tout entier naturel non nul

Exercice 4, spécialité suivant Énoncé Énoncé Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par la fonction définie sur par : . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe où k est un entier naturel non nul, sa tangente au point d'abscisse 1 et la courbe . La droite coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées . Zoom 1.  a) Déterminer les limites de la fonction en et en .

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= . Exemples : 4 ℕ -2 ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. = . Exemples : -2 ℤ 5 ℤ 0,33 ℤ 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre