Équation

3) Distance entre deux points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) :  On retiendra: A(x ;y ;z ) ; B(x ;y ;z ) ; AB (x -x ;y -y ;z -z ) ; AB = AB = A A A B B B B A B A B A 4) Equation cartésienne d’une sphère de E : a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre (;; ) et de rayon r ( r  0;+) b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de diamètre AB (avec: A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) ) c) Remarques: i) Quelle condition et quel nombre de points faut-il pour définir l’unique

c’est ce qu’on appelle une représentation paramétrique de la droite D :  x = xA + λa M (x; y) ∈ D ⇐⇒ ∃λ ∈ R y = y + λb A → en notant a et b les coordonnées de − u. 2.2 Équations cartésiennes Il existe une autre façon de représenter une droite, par une équation cartésienne, généralisant les équations y = ax + b. 4 Vecteurs de R2 ou de R3 Théorème I.2 Si (u, v, w) sont trois réels tels que (u, v) = (0, 0), alors l’ensemble des points M (x; y) tels que ux + vy + w =

paraissent plus long que d’autres): r r r x1 = cos ϑ x0 + sin ϑ y0 = 0 cos ϑ − sin ϑ 0 − sin ϑ cos ϑ 0 r r r y1 = − sin ϑ x0 + cos ϑ y0 = 0 r r z1 = z0 = 0 0 0 1 Lycée La Fayette CPGE ATS – Equations différentielles pour les sciences Page 1 ecazade@aol.com Les équations différentielles en sciences 1. L’EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS : 1.1. Quelques exemples d’utilisation de l’équation différentielle linéaire du premier ordre :

ensemble des solutions d’ une équation x0 = ax + b(t), espaces vectoriels, en particulier Rn . 2. Sous-espaces a¢ nes ! ! (a) Dé…nition : F = I + F , propriété F = J + F pour tout point J 2 F . (b) Cas particuliers : points, droites, plans, hyperplans (relation avec les noyaux de formes linéaires non nulles). (c) Paramétrisation : F = I +t1 e1 +:::+tp ep , et équations paramétriques ! lorsqu’ une base est donnée dans E . Cas des hyperplans, élimination des paramètres et équation cartésienne (ou implicite)

un domaine fluide au repos Forces volumiques (à distance) Forces surfaciques (de contact) Pression en un point Unités usuelles de la pression Equation intégrale de la Statique Equation locale de la statique des fluides Bilan des forces sur un volume élémentaire Force de pression suivant l’axe z Force de pression appliquée sur le volume élémentaire Equation fondamentale de la statique des fluides Application aux fluides incompressibles Application aux fluides compressibles Forces hydrostatiques Cas

nombre de noyaux N(0). L’équation différentielle de décroissance radioactive s’écrit : [pic] = – λ N(t). Dans certain cas, on peut très bien avoir établi une équation différentielle mais ne pas savoir la résoudre (on le verra plus tard en mécanique). Une méthode permet quand même de tracer de façon approchée la courbe solution de cette équation différentielle et donc de pouvoir l’exploiter (afin de trouver une demi-vie par exemple). C’est la méthode d’Euler. II. Principe de la méthode d’Euler

– p.7 Conditions de stabilité Sans surprise : Un réseau est stable ⇐⇒ chacune de ses files l’est. Notant λj le taux effectif (ou taux moyen) d’arrivée dans la file j , on peut écrire les équations de conservation n λj = γ j + i=1 λi rij j = 1, . . . , n. Sous forme matricielle, ces équations deviennent λ = γ + λR ⇐⇒ λ(I − R) = γ. ´ ˆ Recherche operationnelle, J.-F. Heche, EPFL – p.8 Conditions de stabilité (2) Pour un réseau ouvert, on a limn→∞ Rn = 0 et l’unique solution

l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité. Exemples : 1) Résoudre (x+1)(x-1) > 0 : Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :   Or - 1< 1, on obtient donc le tableau de signes suivant : L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est donc  2) Résoudre (3x+1)(2x-5) ≤ 0 : Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :     Or , on obtient ainsi le tableau de signes

NOM Prénom 1 BT A CONTRÔLE A EQUATION DE DROITE Corrigé I. QCM Sur cette figure sont représentées huit droites dans un repère orthonormal : Pour « lire » le coefficient directeur d'une droite tracée dans un repère, on rejoint deux de ses points par un parcours horizontal suivi d'un parcours vertical : ces parcours sont orientés (+ ou -) et mesurés (nombre d'unités). Le coefficient directeur est alors l'écart d'ordonnées (parcours vertical) divisé par l'écart d'abscisses (parcours

comportement de l’ensemble, il faut modéliser chaque bloc en déterminant les équations qui lient les grandeurs d’entrée et de sortie. Les systèmes linéaires réels répondent à des lois qui s’expriment sous formes d’équations différentielles. Deux cas peuvent se produirent : Le système linéaire est parfaitement connu, ainsi que les lois qui permettent une mise en équation des grandeurs d’entrée et de sortie. La résolution de ces équations se fait par la transformation de Laplace. L’étude est conduite en deux