Espace de Banach

transformation de Fourier sur S . . . . . . 5.3 Les distributions temp´r´es . . . . . . . . . . ee 5.4 La transformation de Fourier sur S . . . . . 5.5 Transformation de Fourier partielle . . . . . . 5.6 Transformation de Fourier et s´ries de Fourier e 5.7 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

être résolus. Enfin, les méthodes d’intégration en temps des EDOs sont une brique fondamentale pour l’intégration en temps d’équations plus compliquées : (i) les équations aux dérivées partielles, où il faut considérer à la fois une discrétisation en espace et en temps. Citons par exemple les problèmes de la dynamique des fluides (météorologie, océanographie, etc), de la mécanique des solides (problèmes de rupture et ruine, chargements divers, etc) et de la mécanique quantique (effet tunnel) ; (ii) les

Ï ÐØ Ö donc Ü, Ý et Þ Ô sont solutions   ¿ · ¿ ´   ½µ´ ¾   ¿µ Ô¿µ.deIl y ¿a  donc¾ six ´¨   ½µ´   ¿µ´ · solutions telles que Ü Ý Þ Ô Ô© ½ ¿  ¿ . ¼º § POLº Ñ Ò ¿ È Òº  ½ · ´   ½µ avec ¾ Ê (alg`ebre lin´eaire). Ê ¼¾»ÔÓÐÝÒÓÑ ×¹Ö¾ºØ Ü Espaces vectoriels, alg` ebre lin´ eaire G´ en´ eralit´ es § ALº½ ËÓ Ø ÙÒ ×Ô Ú ØÓÖ Ðº ËÓ ÒØ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ×Ø ÙÒ ×º ºÚº Ø ÙÜ ×ÓÙ×¹ ×Ô × Ú ØÓÖ Ð× × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × ´ ÓÙ ¦ Ú ¼½℄ ´¼½µ ´ est trivial. Pour µ : Supposons que . Alors il existe Þ ¾ tel que Þ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 80 84 89 92 97 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Principes de la m´canique quantique e 1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . 2 Op´rateurs dans l’espace de Hilbert . e 3 Le th´or`me spectral . . . . . . . . . e e 4 Mesure d’une grandeur physique . . 5 Principes de la m´canique quantique e 6 Structure de l’espace de Hilbert .

x Fig. 1.1 – Plan d’équation z = 1. bases canoniques de Ên et Êp , qui à un vecteur1 x = [x1 , ..., xn ]′ associe un vecteur y par Ên → Êp f: x → y = Ax On étudie en général A à partir de ses propriétés spectrales (valeurs et sous-espaces propres). Les applications linéaires sont essentielles en calcul différentiel puisque l’idée sous-jacente à la plupart des grands théorèmes est de remplacer localement une fonction par la somme d’une constante (la valeur de la fonction au point étudié)

. 1.2.4 Les processus multivariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Exemple : histoire de la prévision des modèles économiques (macroéconomiques ) 1.2.6 Remarque sur les processus de comptage ou à valeurs dans un espace d’états …nis 1.2.7 Remarque sur les données hautes fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorie des processus à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Stationnarité des processus . . . . .

l’ensemble des processus X : [0, T ] × Ω → R e T tels que : (i) X : [0, t] × Ω → R est mesurable pour B[0, t] ⊗ Ft pour tout t ∈ [0, T ] ; Xt est donc Ft -mesurable. T (ii) X 2 = 0 E |Xt |2 dt < +∞ L L’ensemble L2 muni de la norme X L est un espace de Banach. T 2 (2) Notons ST l’ensemble des processus simples, c’est ` dire des processus tels qu’il existe des a instants 0 = t0 < t1 < · · · < tp = T et des variables al´atoires (xi , 1 ≤ i ≤ p) telles que xi est e Fti -mesurable et de carr´ int´grable

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