Espace de Banach

L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1 ´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION 2 `res Table des matie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Tribus La droite achev´ee Applications mesurables Espaces produits Subdivisions et fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e

est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points. De façon équivalente, un polytope est défini comme une partie bornée de ê n , intersection finie de demi-espaces fermés. On trouvera donc les deux expressions suivantes pour définir un polytope P : - P = Conv (V), où V = ensemble des sommets de P, - P = ∩ H-i, où H -i est le demi-espace fermé de frontière l'hyperplan H i. i=1,...,f P P Figure 2 : P enveloppe convexe de ses sommets, ou intersection de demi-plans. Chapitre I 8 • Hyperplans

mathématique nécessitent l'axiome du choix. En voici quelques–uns : u Soit E et F deux ensembles. Alors ou bien il existe une injection de E dans F ou bien il existe une injection de F dans E. (Théorème de Cantor, équivalent à l'axiome du choix) u Soit E un espace vectoriel. Alors il existe une base sur E. u Tout ensemble inductif admet un élément maximal. (Un ensemble est inductif si toute partie totalement ordonnée est majorée). (Théorème de Zorn, équivalent à l'axiome du choix). Certains résultats cependant

Mme Clarisse BLAQUIERE – Attachée scientifique et réglementaire Union des Industries Chimiques (UIC) - Syndicat de l’industrie chimique organique de synthèse et de la biochimie (SICOS) - Union des entreprises pour la Protection des Jardins et des espaces verts (UPJ) Mme Marie Hélène LEROY – Chargée de mission Union des Industries de la Protection des Plantes (UIPP) M. Philippe MICHEL – Responsable technique et réglementation Pernod - Cusenier Mme Alice BARRERE – Coordinatrice QSE M. Patrick GUIDICI

. . . . . 1.6.2 Pour les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables aléatoires réelles discrètes finies 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espace probabilisé fini . . . . . . . . . 2.1.2 Conditionnement et indépendance . . . 2.1.3 Variables aléatoires finies . . . . . . . . 2.1.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . 2.2 Complément : espérance conditionnelle . . . . 2.3 Rappels (suite) .

chercheurs. Les unités de la PAN ont signé ca. 740 accords de recherche communs avec des instituts étrangers. La PAN est également à l’origine de plusieurs centres de recherche internationaux en Pologne : le centre international de mathématiques Stefan Banach, le Centre international de Biocybernétique, le Laboratoire international des hauts champs magnétiques et des basses températures, le centre franco-polonais de biotechnologies végétales, les Centre international d'écologie et l'Institut international

66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes

p(h) = hn+1 , n hn+1 (n+1) p (x). p(x+h) = p(x) + h p′ (x) + ... + hn! p(n) (x) + (n+1)! on obtient : Proposition 1.4 L'ensemble Pn des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un espace vecto∞ riel, sous-espace vectoriel de C (R; R). L'ensemble de tous les polynômes est un espace vectoriel, ∞ sous-espace vectoriel de C (R; R). Preuve. ∞ Le caractère C des polynômes sur R est connu (basé sur la relation de Neumann xn+1 −xn+1 n n−1 0 = x +x x0 + ... + xxn−1 + xn0 immédiate à vérier, et qui

85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique .

contenu dans un compact K˜ contenu dans Ω, les inégalités de Cauchy (Proposition II.2.6) donnent f (z) − f j (z) ≤ 1r f − fj , ce qui montre la dernière assertion. K˜ C OROLLAIRE (Théorème de Montel). Soit Ω un ouvert de C. L’espace H(Ω) est un espace de Montel pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de Ω (i.e. si ( f j ) j est une suite de fonctions holomorphes sur Ω qui est uniformément bornée sur chaque compact de Ω (mais pas nécessairement sur Ω), alors il existe une