Espace de Banach

Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati` eres Pr´ eface 5 1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 2 Espaces topologiques 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Applications à l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . .

. . . . 3 1.2 Rappels sur les fonctions r¶eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 D¶enombrabilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tribus et applications mesurables 8 2.1 Tribus, espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Structure des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

séparation . 19 1.5.3 Système dual, topologie faible 23 1.5.4 Transformée de Fenchel-Legendre . 24 CHAPITRE II EXEMPLES DE MESURE DE RISQUE ET MESURES DE RISQUE SUR LI 26 2.1 Mesures de risque sur des espaces plus généraux 26 2.2 Mesures de risque sur LI 27 2.3 Exemples de mesures de risque sur LI 28 2.3.1 Définition de la CVAR}., . . . 28 2.3.2 Le cas de la mesure shortfail risk 33 2.4 . Conclusion

. . . . . . . . 1.6.3 M´thode des Iterated functions system (IFS) e 2 Th´orie pour la construction des IFS e 2.1 Notions d’analyse . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les espaces . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Autres . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Fonctions et transformations . . . . 2.1.4 Th´or`me du point fixe de Banach e e 2.2 Th´orie associ´e aux IFS . . . . . . . . . . e e 2.2.1 L’espace des fractales . . . . . . . . iv 1 2 2 3 5 5 6 7 8 10 11 13 13 14 17 17 18 18 19 20 20 23 24 27 27

. . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . .

g´om´trie. Il met en valeur l’importance du concept de e e e groupe pour les m´thodes de la g´om´trie. e e e En premi`re ann´e, le programme d’alg`bre et g´om´trie combine l’´tude de l’alg`bre lin´aire (espaces vectoriels, e e e e e e e e applications lin´aires, alg`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes e e orthogonaux) et de ses interventions en alg`bre, en analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire

solution approchée dans un espace de dimension finie dont les fonctions de base possèdent des propriétés d’orthogonalité et sont faciles à intégrer ou dériver ; le calcul de la solution approchée se ramène alors à la résolution d’un système linéaire dont la matrice est creuse. L’exemple type de problèmes paraboliques est l’équation de la chaleur en évolution, qui fait intervenir cette fois une variable supplémentaire : le temps. Ces problèmes sont semi-discrétisés en espace par une méthode d’éléments

différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 83 Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de fonctions 2e année

ne boiront jamais d’alcool. PREUVE : Pour ce faire, on a besoin d’un petit lemme démontré en 1921... Lemme 1 Supposons qu’un ivrogne se promène dans un espace à d dimensions, en se déplaçant à chaque temps t dans une des 2d directions « de base » de 1 l’espace avec une probabilité égale pour chaque direction (à savoir 2d ). Alors : – Dans un espace à une ou deux dimensions, l’ivrogne repassera une infinité de fois par son point de départ (et même par tout autre point). – Si la dimension est strictement