Espace de Banach

ℑ) où Ω est un ensemble non vide et ℑ une tribu de parties de Ω, est appelé espace mesurable. Dans le cas où Ω est l’ensemble des résultats possible d’une expérience, un espace mesurable (Ω,ℑ) est appelé espace probabilisé. /* Cette définition ne veut rien dire j’y consens, mesurable ou probabilisable, la différence est bien maigre… */ 1.3. Tribus Boréliennes (de ce brave Borel, Emile de son prénom) : Soit (Ω,d) un espace métrique, Ω non vide. On note ?Ω l’ensemble des parties ouvertes de (Ω,d),

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2011 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

phisique et aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour le sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension nie et l'objet principal était la résolution de problèmes de nature quantitative. Depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénécié d'une plus grande attention. L'étude des fonctions convexes a permis de fournir

2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equations aux d´riv´es partielles (EDP), ´quation de la chae e e leur 4.1 Motivation : ´valuation d’options par Black & Scholes . . . . . e 4.2 Rappels sur les EDP : espaces fonctionnels, formulation variationnelle, lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Lemme de Lax-Milgram . . . . . . . .

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

-mesurable. La valeur d’un produit dérivé dépend de l’état du monde réalisé à la date t = 1 et de manière équivalente, tout produit dérivé s’écrit comme une fonction mesurable φ de S1 . Proposition 2.1 Soit X et Y deux variables aléatoires sur un espace de probabilité (Ω, A, P). Alors, Y est σ(X)-mesurable ssi elle est de la forme f (X) avec f une application mesurable (borélienne). Démonstration: Si Y = f (X), alors, pour tout Borélien B de R, on a f (X)−1 (B) = X −1 f −1 (B) ∈ σ(X) . Réciproquement

courbe entre −10 et 10 avec Maple. 3- Etudier la suite (xn )n 4- On choisit x0 > 0 e a- D´terminer un r´el α tel que xα − xα converge vers un r´el non nul. e e n n+1 b- En d´duire un ´quivalent de xn e e +∞ CENTRALE 19 Soit K un compact d’un espace vectoriel norm´ et f : K → K continue. Montrer qu’il existe une partie non vide e G de K telle que f (G) = G CENTRALE 20 E et F d´signent deux evn. Soit K un compact et une application continue e f: E×K → F (λ,x) → y e 1- Soit y ∈ F et Ey =

. . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 92 93 94 96 98 99 A Rappels de probabilit´ e A.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . A.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . A.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . A.4 Quelques in´egalit´es utiles . . . . . . A.5 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . A.6 Moments d’ordre p, espaces Lp et Lp A.7 Variance, covariance . . . . . . . . . A.8 Ind´ependance. Mesures produits . . A.9 Fonction caract´eristique