Espace de Banach

Espaces vectoriels normés I ) Normes : 1°) Définition : Def : Soit E un K espace vectoriel , on appelle norme sur E toute application de E dans IR+ qui vérifie : N (x)  0  x  0 ( séparation ) x  E,   K : N  x   N x      x, y  E 2 , N x  y  N x  N y        Un espace vectoriel muni d’une norme est appeléespace vectoriel normé

´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles

255 le blanc (intensit´ lumineuse maximale). e 3. Les images couleurs S’il existe plusieurs modes de repr´ sentation de la couleur, le plus utilis´ pour le maniee e ment des images num´ riques est l’espace couleur Rouge, Vert, Bleu (R,V,B). e ` Cet espace couleur est bas´ sur la synth` se additive des couleurs, c’est a dire que le e e m´ lange des trois composantes (R, V, B) donne une couleur. e 3 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.1.1 Quelques d´ finitions e Pixels et niveaux de gris

j·k = – k·j = i  k·i = – i·k = j  (2) (1) Structurellement, on considère donc l’ensemble des quaternions, définis par la relation (1), comme un espace vectoriel réel de dimensions 4, dont une base est fournie par (1, i, j, k ). On constate alors que la correspondance entre l’espace vectoriel réel de dimension 3 (repéré par le trièdre T ) et le sous-espace de quaternions purement imaginaires est une correspondance linéaire : si V = a V 1 + b V 2 , on a V = a V 1 + b V 2 (5) (3) pour tous scalaires

auteur. Centenaire en pleine forme, il est encore utilisé dans les contextes les plus variés. Je vais donner maintenant quelques exemples, où il est appliqué sur la droite comme ci-dessus, sur Rn (ce que Baire savait faire dès 1904) ou sur des espaces métriques complets (ce qu’il aurait su faire s’il avait connu cette notion). Rappelons-nous les motivations initiales de Baire: il s’intéresse aux fonctions qui sont limites en tout point d’une suite de fonctions continues. Dans son mémoire de

Soient S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S). Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement : Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q. De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il

rappelle que e F 1 x2 √ exp − 4t 4πt (ξ) = e−4π 2 ξ2 t . 2. Synth`se : v´rifier que la fonction u mise en ´vidence lors de l’analyse est bien solution de e e e l’´quation de la chaleur. e Exercice 11 - Espace de Wiener - Troisi`me ann´e e e On note W = L1 (R) ∩ F(L1 (R)), espace de Wiener constitu´ des fonctions int´grables qui e e sont ´galement la transform´e de Fourier d’une fonction int´grable. e e e ˆ 1. Montrer que f ∈ W ⇐⇒ f ∈ L1 (R) et f ∈ L1 (R). 2. Montrer que f ∈ W =⇒ f ∈ Lp

identifier les principaux aspects de la théorie de la complexité et évaluer la complexité intrinsèque d’un problème. Contenu : modèles de calculs séquentiels et parallèles. Mesures de la complexité : temps, espace, nombre de processeurs. Hiérarchie des classes de complexité : NC, P, NP, P‑espace. Notions afférentes : décidabilité, non-déterminisme, oracles, complétude. Calcul de bornes inférieures. IFT 747 3 cr. Conception et gestion des systèmes d'information (3-0-6) Objectifs : connaître

a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles e Courbes

Différentiel et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons