Espace de Banach

d’analyse fonctionnelle. Rappellons tout d’abord qu’un espace m´trique X est complet si toute e suite de Cauchy dans X converge. Et donnons la d´finition suivante. e D´finition. Soit S ⊂ X. la partie S est dense si adhS = X. e Baire a 30 ans, en 1904, lorsqu’il est invit´ ` donner cours pendant 6 mois ea au coll`ge de France. Dans ce cours, on trouve plusieurs r´sultats fondamene e taux parmi lesquels celui ci : Th´or`me (Baire (1904)). Dans un espace m´trique complet, toute intere e e section d´nombrable

d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski

Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . Union finie de sous-espaces stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . . 1.4.3 Espace H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 0 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 11 11 12 13 Algèbre linéaire élémentaire 3.1 Propriétés des espaces vectoriels 3.2 Applications linéaires . . . . . . . 3.3 Algèbre matriciel . . . . . . . . . . 3.4 Déterminants . . . . . . . . . . . . 3.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε pour n ≥ n0. (on n’avait pas le droit d’´crire ceci avant !). e 3) Il ne reste plus qu’` voir si f est dans le mˆme espace, ie si f est continue: or c’est du cours (le reste aussi), a e ie une limite uniforme d’applications continues est continue. Red´montrons-le: e |f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fn (x)| + |fn(x) − fn (a)| + |fn(a) − f(a)| ≤ 2N∞ (f − fn) + |fn (x) − fn(a)| Si

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

bases 7 2.1 Caractères réservés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Caractères spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Commandes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Espaces et retours à la ligne dans le fichier source . . . . . . . . . 8 2.5 Structure hiérarchique du document . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Insertion de fichiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Mise en page . . . . .

mesur´es forment une tribu. D´ efinition 1 (Tribu ou σ-alg` ebre). Soit Ω un espace. On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Un ensemble A ⊂ P(Ω) est appel´e tribu ou σ-alg` ebre, s’il v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. φ ∈ A (contient l’ensemble vide) 2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A (stable par compl´ementaire) 3. (An )n≥1 ⊂ A =⇒ n≥1 An ∈ A (stable par union d´enombrable). 14 Le couple (Ω, A) est appel´e un espace mesurable. Exercices : 1. Soit A une tribu de Ω. Montrer que Ω ∈ A et que A est