Espace euclidien

Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires, à appliquer dans un ordre déterminé, à des données. Sa réalisation permet de résoudre un problème donné. Exemples : suivre une recette de cuisine, suivre un plan, faire une division euclidienne à la main sont des exemples d’algorithme. Remarques : 1. Un algorithme doit être lisible de tous. Son intérêt, c’est d’être codé dans un langage informatique afin qu’une machine (ordinateur, calculatrice, etc.) puisse l’exécuter rapidement et

D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment

Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 183 183 185 187 188 18. Espaces vectoriels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 271 271 273 275 276 13. Vocabulaire de la théorie des ensembles 195 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

constitu´e des 3 polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 . (c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. (b) Donner une base de P. (c) En d´duire la dimension de P. e 5. Algorithme

différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 Suites de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 83 86 Séries de fonctions

xp Ł p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les puissances o d´croissantes e Proposition 1.1.1 Pour tous polynˆmes A et B (B = 0), il existe un et un seul polynˆme o o Q appel´ quotient, et un et un seul polynˆme R appel´ reste, tels que A = BQ + R avec

Alignement au centre et autres . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Trois points. . . de typographie . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4.1 Guillemets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4.2 Points de suspension . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4.3 Espace insécable . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4.4 Trait horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Longueurs et espacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en

+ 1) Pn ( x ) = 0 . Deuxième problème On désigne par 2 [X ] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et par [X ] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et le 2 polynôme nul. On rappelle que la base canonique de [X ] est B = (1, X , X 2 ) . I. Changement de bases et division euclidienne 18. Etant donné trois réels deux à deux distincts a1, a2 et a 3 , on considère trois polynômes ⎧Q (a ) = 0 si i ≠ j ⎪ i j ⎪ ⎪ Q1, Q2 et Q3 de

52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes IV Algèbre linéaire 58 58 59 61 62 66 72 74 77 80 82 85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications