Espace euclidien

différence de statut Quel est l’objet de leur rencontre ? Eléonore recherche un emploi comme assistante. De son côté, Mme BERTOLINA doit s’assurer qu’elle trouvera le bon candidat pour le poste. Une erreur de recrutement a un coût En quel lieu/dans quel espace la rencontre se fait-elle ? La rencontre se fait dans le bureau de Mme BERTOLINA (territoire personnel),k au sein de l’entreprise STMicroelectronics. Caractérisation des objectifs Acteur 1 Acteur 2 Quel(s) objectifs(s) poursuit chacun des acteurs 

formes de la nature. Les scientifiques se limitaient à la géométrie euclidienne pour les étudier. Cependant, grâce à la découverte par Mandelbrot de la théorie fractale qui étudie les objets complexes, une nouvelle description de ces formes naturelles a pu être établie, description parfois plus pertinente que celle donnée par la géométrie traditionnelle. La géométrie fractale a donc montré les limites de la géométrie euclidienne pour décrire des objets complexes, elle a offert de nouvelles perspectives

objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux triangles, aux cercles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire les objets du quotidien, les créations de l'homme et de décrire simplement la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres, et des oranges des sphères. Mais comment fait-on pour décrire un choux-fleur, un nuage ou même un arbre entier ? En effet, dû à la fragmentation ou à l'irrégularité de tels objets, la géométrie euclidienne atteint sa limite.

P2 , P3 ) est une base de K2 [X]. Exercice 22 [ 02146 ] Exercice 15 Soit A, B, C ∈ K [X] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer : pgcd(A, BC) = pgcd(A, C). [ 02139 ] Exercice 23 Division euclidienne Exercice 16 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et susante sur (λ, µ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2. [ 02140 ] Pour k ∈ {0, . . . , n}, on pose Pk = (X + 1)k+1 − X k+1 . Montrer que la famille (P0 , . .

de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, approximation Espaces vectoriels euclidiens, géométrie 69 70 71 72 Approximation d’un nuage de points par une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes 86 87 89 90 Puissances, commutant de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes Composée de deux rotations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème

+ 2)Qn (X) + an X + bn , où an X +bn est le reste dans la division euclidienne de X n par X 2 −3X +2. Pour trouver la valeur de an et bn , on évalue l’égalité précédente en les racines de X 2 − 3X + 2, c’est-à-dire en 1 et 2. On trouve le système : an + bn = 1 2an + bn = 2n dont l’unique solution est an = 2n − 1 et bn = 2 − 2n . 2. Il suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite

stimul´ee pour qu’ils souhaitent aller plus loin dans l’approfondissement de leur apprentissage math´ematique d’une part et de leur connaissance de ces domaines passionnants d’autre part. 3 4 Table des mati` eres 1 Arithm´ etique 1.1 Division euclidienne . . . . . 1.2 pgcd et ppcm . . . . . . . . . 1.3 Th´eor`eme de B´ezout . . . . . 1.4 Algorithme d’Euclide ´etendu 1.5 Quelques cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 : Formes lin´aires et espace dual e (1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2

nombre. Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient ainsi un nombre différent. De manière à lire facilement un nombre, on sépare chaque rangée de trois chiffres (en partant de la droite, c'est-à-dire du chiffre des unités) par un espace. On décompose le nombre 4 125 089 :4 125 089=4×1 000 000+1×100 000+2×10 000+5×1 000+0×100+8×10+9×1Le nombre 4 125 089 est ainsi formé de : 4 millions 1 centaine de milliers 2 dizaines de milliers 5 milliers 0 centaine 8 dizaines 9 unités