Espace euclidien

de celle de cinq entiers consécutifs ? La somme de n entiers consécutifs est-elle un multiple de n (n est un entier naturel) ? Activité 2 : Division euclidienne 1. On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne ? Combien de CD restera-t-il après le partage ? 2. Pose la division euclidienne de 631 par 17 puis écris 631 sous la forme 17 × k  n où k et n sont des entiers naturels et n  17. Dans cette opération, comment s'appellent les nombres

de 2 nombres entiers a et b non nuls est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b. Il est noté PGDC (a ; b). Un PGDC est toujours supérieur ou égal à 1. Pour calculer le PGDC ont peut utiliser la division euclidienne : On effectue la division euclidienne de a par b et on note r le reste. Ensuite, b devient a et r devient b comme sur le tableau ci-dessous et on recommence. On continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'une division donne un reste égal à 0. Dans cette méthode le PGCD

ou x  18 (mod 26) donc Y → S. De même G → 0, car si y = 6, x  14 (mod 26) et G → 0, etc. ; le message décodé est : SOYEZ COOL ! Problème 4 B 1. Les multiples successifs de a apparaissent dans la colonne B et les restes de la division euclidienne de au par b dans la colonne C. 2. En recopiant vers le bas, on obtient d’autres coefficients : A 1. Voir ci-après. 2. a) 43 × 23 – 38 × 26 = 1. 3. Si les nombres saisis a et b ne sont pas premiers entre b) 2 012 × 114 – 347 × 661 = 1

Angles orientés de deux vecteurs I) Définition : • et • sont deux vecteurs non nuls. et sont deux représentants de ces vecteurs. • A’ et B’ sont les points d’intersections respectifs des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique (C ). La mesure en radians de l’angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de ( ′ ; ′) II) Propriétés des angles orientés 1) Propriétés et sont deux vecteurs non nuls. • et sont colinéaires de même sens si , et seulement

Livre du professeur J EAN-PAUL B ELTRAMONE © Hachette Livre 2010 – Déclic 2de VINCENT B RUN J EAN L ABROSSE CLAUDINE M ERDY LYDIA M ISSET PHILIPPE ROUSSEAU O LIVIER S IDOKPOHOU CLAUDE TALAMONI A LAIN TRUCHAN Maquette de couverture : Johan Misset Composition et mise en page : Sonia Dubois (Desk) Dessins : Lionel Buchet (SG Production) Suivi éditorial : Régine Delay © Hachette Livre 2010 – Déclic 2de www.hachette-education.com © HACHETTE LIVRE 2010, 43, quai de Grenelle

4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 — u0 2 La représentation graphique permet de conjecturer que la suite (un) converge vers 12. 110476_C01_prof_fig01bis Problèmes ouverts 1 Pour tout entier naturel n, on note rn le reste de la division euclidienne de 3n par 8. Ainsi : 31 = 0 × 8 + 3 r1 = 3 ; 32 = 1 × 8 + 1 r2 = 1 33 = 3 × 8 + 3 r3 = 3 ; 34 = 10 × 8 + 1 r4 = 1 On peut vérifier que r14 = 1 et r15 = 3 et conjecturer que r2012 = 1. Avec les acquis de ce chapitre, on peut démontrer

................................................54 A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs. ........................... 54 B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56 4. Division euclidienne ...................................................................................... 57 5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58 6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..

Contrôle n°5 – Vecteurs Exercice 1 (4 points) 1. Compléter : 2. Placer le point H tel que . 3. Placer le point I tel que 4. Placer le point J tel que Exercice 2 ( 4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. On considère les points A( 6 ; 7) , B(5 ; - 2) ; C(4 ; - 1) et D(0 ; 1). 1. Déterminer les coordonées des vecteurs et 2. Déterminer les coordonnées du vecteur . 3. Déterminer les coordonnées du vecteur . 4. Trouver les coordonnées du point M tel que Exercice

---------------------------Niveau : 2 T informatique---------------------Page 3 Activité 2 : Systèmes de numération et codes Partie 1 : Exemples de conversion (25 points : 2×6+1×4+1×2+1×2+0.25×4×5) 1. Faire le codage des nombres décimaux suivants (utiliser la division euclidienne) (21)10 ; (45)10 On obtient (21)10= (…………………………………)2 On obtient (45)10= (…………………………………)2 2. Faire le décodage des nombres binaires suivants (10011001)2 ; (11011101)2 ……………………...………………………………………………………………………………………… …………………..……………………………………………………………………………………………

DM 4 1S 2014-2015 Un problème digne d’attaque prouve sa valeur en ripostant. Piet Hein (1905-1996) Soit n un entier naturel non nul. On se propose de calculer en fonction de n les sommes suivantes : k=n k=n k=n k=1 k=1 k=1 k3 k 2 et S3 = 13 +23 +33 +· · ·+n3 = k, S2 = 12 +22 +32 +· · ·+n2 = S1 = 1+2+3+· · ·+n = Calcul de S1 On considère la fonction trinôme du second de degré f1 définie par f1 (x) = x2 x − . 2 2 1. Calculer f1 (1). 2. A l’aide