Espace vectoriel normé

D1 – Travailler dans un environnement numérique évolutif Exercices Sommaire D1.1 – Organiser un espace de travail complexe D1.2 – Sécuriser son espace de travail local et distant D1.3 – Tenir compte des enjeux de l’interopérabilité D1.4 – Pérenniser ses données D1.1 – Organiser un espace de travail complexe Exercice 1 – Les capacités de stockage Répondez aux questions suivantes. Vous pouvez saisir vos réponses ci-dessous : 1. Les unités de mesure a. Complétez : 1 To = ........

Dérivabilité : La preuve de la dérivabilité de la série et donc de u s'appuie sur un théorème d'analyse assez relevé que nous énoncons ici. Théorème 2.2 (Théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctions) Soit I un intervalle et F un espace vectoriel normé de dimension nie. Si (un )n≥0 est une suite d'applications dénies sur I et à valeurs dans F vériant :  Chaque un est de classe C 1 sur I .  La série n≥0 un converge simplement sur I  La série n≥0 un converge uniformément sur tout intervalle

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite

Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, approximation Approximation rationnelle de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, approximation Espaces vectoriels euclidiens, géométrie 69 70 71 72 Approximation d’un nuage de points par une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes 86 87 89 90 Puissances, commutant de matrices . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . C - Applications linéaires et représentations matricielles Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables

respectives : ?( ? , ? , ? ) ?(? , ? , ? ) ⃗ On définit le vecteur ?? se caractérisant par :   Sa direction : le long de la droite (AB) Son sens : il va de A vers B  ⃗ Sa norme :  c’est  la  longueur  du  segment  [AB],  elle  est  notée   ?? ⃗ Le vecteur opposé au vecteur  ?? de même norme, même direction mais de ⃗ ⃗ ⃗ sens contraire, noté ?? est tel que : ?? = −  ?? ⃗ Les coordonnées du vecteur  ?? sont : ⃗ ??  (? ? − ? ? , ? ? − ? ? , ? ? − ? ? ) Si on nomme  ? ⃗

...................... 8 PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL ......................................................................................... 8 Détermination d’un vecteur............................................................................................................. 8 Produit scalaire et norme d’un vecteur........................................................................................... 9 Produit vectoriel......................................................

OPÉRATEURS LINÉAIRES 27 2.1 Types d’opérateurs linéaires 27 2.2 Vecteurs et valeurs propres 34 2.3 Matrice d’un opérateur 37 2.4 Espaces de Hilbert 42 EXERCICES 46 CHAPITRE 3 • FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 51 3.1 Réalisations des fonctions d’onde 51 3.2 Espace des états quantiques 55 IV Table des matières 3.3 Système complet d’observables qui commutent 63 3.4 Postulats de la mécanique quantique 66

II. 1 Chapitre II : Calcul vectoriel A. Définitions et rappels 1. Notion de vecteur Imaginons une caisse posée sur le sol. Trois personnes décident de la pousser. Bougera-t-elle ? Dans quelle direction ? Tout dépend de la grandeur et de la direction de ‘l’effort’ total qui sera fait. Un moyen commode de représenter ces efforts est de les désigner par une flèche dont la longueur est proportionnelle à la grandeur de l’effort et dont la direction indique l’orientation de l’effort : nous l’appellerons

par rapport auquel l'inertie du nuage est au minimum. On peut aussi dire que le centre de gravité est le meilleur représentant du nuage puisque Ia > Ig. 2.2.1 Inertie par rapport à un axe passant par l'origine Quand il s'agit de représentation vectorielle, on considère très souvent comme confondus l'origine O de l'espace et le centre de gravité g. Soit donc un axe ∆ passant par O. On appelle inertie par rapport à ∆ la quantité: Si nous appelons Proj∆(Xi) la projection orthogonale de Xi sur l'axe