Espace vectoriel normé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Modélisation vectorielle des MOCN [LEFUR 96] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1. Points utilisés pour modéliser la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2. Vecteurs caractéristiques des éléments de la MOCN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3. Equation vectorielle utilisée en usinage à commande numérique . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.4. Remarques

facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme 1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par : ∀P ∈ E, P ∞ = Sup P(n) (0) , n∈N . n! ∞) et = sup |un |. n∈N On considère

. . 54 3.3. Représentation géométrique des n-uplets de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4. Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Vecteurs unitaires. Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

amené à prendre. Soit E I'ecyace vectoriel complexe des fonctions complexes définies et continues sur le segment I = [O, XI. Soit li.lla l'application qui, B toute fonction f de E, associe le maximum du module de la fonction f sur l'intervalle 1 : llfllm = max If(x)l 0SXS;x . Il est connu que l'espace (E,II.II~) est un espace vectoriel nomé. Soit 7;' le sous-ensemble des fonctions f, continûment dérivables, qui appartiennent à l'espace vectoriel E, qui prennent la valeur O aux points

  !!!!⃗   ������������       !!!!!⃗   ������������    II. La mécanique newtonienne : 1. Les notions de mathématiques nécessaires à la mécanique newtonienne :   La  force  est  une  grandeur  vectorielle.  En  effet,  tout  au  long  de  ce  travail  pratique,  on  fera  appelle  à  des   notions  de  mathématiques  telles  que  la  trigonométrie  et  les  vecteurs.  

courbe entre −10 et 10 avec Maple. 3- Etudier la suite (xn )n 4- On choisit x0 > 0 e a- D´terminer un r´el α tel que xα − xα converge vers un r´el non nul. e e n n+1 b- En d´duire un ´quivalent de xn e e +∞ CENTRALE 19 Soit K un compact d’un espace vectoriel norm´ et f : K → K continue. Montrer qu’il existe une partie non vide e G de K telle que f (G) = G CENTRALE 20 E et F d´signent deux evn. Soit K un compact et une application continue e f: E×K → F (λ,x) → y e 1- Soit y ∈ F et Ey = {λ ∈

B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 15. [ENSEA] ('21) Résoudre l'équation di�érentielle xy′ + y = ln |1 + x|.Stanislas Révisions Fonctions à valeurs vectorielles Calcul di�érentiel T.D. II PSI 2021-2022 � � � I. Fonctions à valeurs vectorielles Exercice 1. [Centrale 1] ('21) Soit A : R→Mn(R) de classe C 1. 1. On suppose qu'il existe S : R → G`n(R) dérivable telle que A(t) = S(t)A(0)S(t)−1. Montrer qu'il existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t)

l'efficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité. 1. Rappels vecteurs Parallélogramme : égalité de vecteurs et somme + ; vecteur opposé - ; différence de deux vecteurs - ; multiplication par un réel. Représentation d’une somme de trois vecteurs dans l’espace : règle du parallélépipède. Vecteurs colinéaires. Droite passant par A de direction . Vecteurs coplanaires. Milieu : I milieu de [AB] : + = . 2. Repère Droite : (A, ) Plan : (O, , ) Espace : (O, , , )

Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . Union finie de sous-espaces stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .