Expression rationnelle

qu’on ne peut pas trouver un entier 3 tel que -1 3.3 =1. En fait les seuls nombres entiers ayant un inverse entier sont 1 et –1, qui ont pour inverses eux-mêmes. On est dans un contexte très différent de celui des nombres réels ou des nombres rationnels, qui eux, à part 0, ont toujours un inverse. Toute l’arithmétique tourne autour de cet écueil propre aux nombres entiers, à savoir le problème de la division. 1- Division euclidienne Il s’agit de la division la plus simple, celle où n’interviennent

a imposé sa limite au produit. Or 3x3 est le terme dominant du polynôme f(x). Ce qui est vrai pour le cas particulier f l'est pour n'importe quel polynôme. - 5/8 - Ch1 : Limites et continuité (TS) b) Limite d'une fraction rationnelle. On considère la fonction rationnelle g définie pour tout réel x par : Déterminons sa limite en + ∞. Au premier abord, en utilisant ce que nous avons fait avec les polynômes, nous pouvons dire que lorsque x tend vers +∞ : le numérateur 3x3 + 2x2 + 1 tend vers + ∞

9 3.5 Quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Limite en l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle 12 4.1 Cas d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Cas d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Asymptote oblique ∗ Ce 13 cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons

BONUS : a) Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Avec a ∈  , c ∈  , b ∈ * et d ∈ * , a c ad + bc ad + bc on calcule + = et bd ∈ * et ad + bc ∈  donc est bien un rationnel. b d bd bd b) La somme de deux nombres irrationnels est-elle un nombre irrationnel ? La somme de deux irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel. ( ) Contre-exemple : 2 + − 2 = 0 et 0 est un rationnel. 

l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions

: X+5=2 ? • Entier relatif : ℤ={ …. -3, -2, -1, 0, 1, 2 ….} Math L1 : Pré-Requis 1) 17 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD • Nombre rationnels : ℚ : nombre qui vient d’un ratio (rapport), une fraction, tout couple (a,b) avec b≠0 où a et b є ℤ ࢇ ࢈ ࢋ࢚ ࢉ ࢊ ࢇ ࢉ ࢕࢔ ࢇ ቀ = ቁ ⇔ ሺࢇ. ࢊ = ࢉ. ࢈ሻ (produit en croix) ࢈ ࢊ Parmi les nombres rationnels, la partie décimale peut être : - Absente - Définie - Périodique • Nombre irrationnels : ils sont abtenus en faisant le rapport de deux entiers

L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3∈ ⅅ 1 3 ∉ ⅅ  mais   ∈ ⅅ 3 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 sur 8 4. Nombres rationnels Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient a avec a un entier et b un b entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. Exemples : 1 ∈ ℚ 3 4∈ℚ -4,8 ∈ ℚ 2 ∉ ℚ. 5. Nombres réels L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe

applications pratiques c’était largement suffisant (par exemple estimer la surface d’un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement avec des nombres rationnels Q. Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent que 2 n’entre pas ce cadre là. C’estp à-dire que 2 ne peut s’écrire sous la forme q avec p et q deux entiers. C’est un double saut conceptuel : d’une part concevoir que démonstration

3 x x 1 1 5 Donc F( x ) = − + 2 + . x x 4 2 1 2x Donc F( x ) = e − 2 e x + 2 . 2 16 ∀x ∈ I , F( x ) = − 1 + 12 + k et F( − 2 ) = 2 . 17 ∀x ∈ I , F( x ) = 1 e 2 x − 2 e x + k et F(ln( 2 )) = 0 . 4x − 4 = 4. x −1 F est une fonction rationnelle dérivable sur I . On pose F' = f . Ainsi F est une primitive de f sur I. Or G = F + 4 donc G est aussi une primitive de f . 4 ∀x ∈ I , G ( x ) − F( x ) = 18 1. On pose I = 1 − 3;1 + 3 .   M( x; y ) ∈ # f ⇔ y = 3 − ( x − 1)2 , x ∈ I

part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels = − {0} : ensemble des réels strictement positifs 2 Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont