Expression rationnelle

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de

01. Les nombres complexes 1 1.1 Introduction Construction de C En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments

http://www.collmathage.fr.fm 3 ème RÉSOUDRE UNE ÉQUATION « CARRÉ » Résoudre une équation consiste à travers la valeur (ou les valeurs) de l’inconnue (souvent appelée x) qui vérifie l’équation. Une équation « carré » est une équation de la forme x 2 = a, où est un nombre qui peut être : • strictement positif : l’équation a dans ce cas deux solutions : a et – a ; • égal à zéro : l’équation x 2 = 0 a ainsi une seule solution, 0. • strictement négatif : l’équation n’a aucune solution, car un

La théorie des anticipations rationnelles Se plaçant dans le courant néoclassique, J. F. Muth, en 1961, mais surtout Robert Lucas, en 1972, et Thomas Sargent, en 1981, ont élaboré la théorie en évoluant des anticipations adaptatives aux anticipations rationnelles. 1. DES ANTICIPATIONS ADAPTATIVES AUX ANTICIPATIONS RATIONNELLES Les anticipations adaptatives signifient qu’une valeur anticipée d’une variable dépend des valeurs observées dans le passé : si les prix ont augmenté de 1 % par mois depuis

degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • x →+∞ x →2 lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes de plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité ƒ(a) si x tend vers a et si ƒ est définie en a. Une étude plus

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit

appartient a I. ` 1.1.2 Rappels sur les nombres r´els. e On note N l’ensemble des entiers naturels, Z l’ensemble des entiers relatifs : N = {0, 1, 2, 3, . . .}, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, +1, +2, 3, . . .}. On note Q l’ensemble des nombres rationnels, c’est-`-dire l’ensemble des nombres de a p u la forme q , o` p et q sont des entiers relatifs (avec q = 0). Il est difficile de d´finir de fa¸on pr´cise l’ensemble R des nombres r´els. Nous nous e c e e contenterons de l’interpr´tation g´om´trique

d´cimaux. e 3. Les nombres rationnels D´finition : e a avec a et b des Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s’´crire sous la forme e b entiers relatifs et b diff´rent de 0. e Exemples : 2 4 ; ; 5 ; ... 3 5 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 Remarque : Ce n’est pas parce qu’il y a une notation fractionnaire que c’est forc´ment un nombre rationnel. e π n’est pas un nombre rationnel. 2 Propri´t´ : e e Tous les nombres d´cimaux sont rationnels. e 4. Les irrationnels

utilisée pour prouver qu'un nombre donné sous forme de fraction n'est pas décimal, parce que la fraction qu'on a mentionnée dans l'énoncé n'est pas nécessairement irréductible). La troisième assertion donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 ou par 5. La quatrième assertion confirme

Les nombres rationnels D´ efinition : a avec a et b des Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s’´ecrire sous la forme b entiers relatifs et b diff´erent de 0. Exemples : 2 4 ; ; 5 ; ... 3 5 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 Remarque : Ce n’est pas parce qu’il y a une notation fractionnaire que c’est forc´ement un nombre rationnel. π n’est pas un nombre rationnel. 2 Propri´ et´ e: Tous les nombres d´ecimaux sont rationnels. 4. Les irrationnels