Faille normale

. B.5 Dérivation matricielle . . . . . . . . . . . . C Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2 . ν ν1 C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fν2 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en « 3ème forme normale» La première Forme Normale (1FN) Règle : une relation est en 1FN quand chacun des attributs (autre que la clé) dépend fonctionnellement de la clé Exemple (ou contre-exemple) : soit la relation suivante : CLIENT(Num cli, nom cli,adresse cli, tel cli) Sachant qu’un client peut posséder plusieurs n° de téléphonela relation CLIENT est-elle en 1ère forme normale ? Dans la négative, proposer une solution conforme à la 1FN. La deuxième Forme Normale 2FN Règle : une relation

se demander si ces valeurs ne doivent pas être écartées afin de conserver une population de mesures de type Gaussienne. L’hypothèse de non normalité Gaussienne peut être rejetée pour plusieurs raisons : 1) parce que la population mère n’est pas normale (ou gaussienne) 2) parce que l’échantillon contient des valeurs aberrantes. - On a déjà vu que la série de mesures sera une population de type Gaussienne si les mesures sont indépendantes et si les causes qui influent sur la valeur d'une mesure

0≤k≤n (B) Sachant que S2 =1, la probabilité que X1 =1 est (C) On a Var(Xk )= p2 (D) On a Var(Sn ) =nVar(X1) (E) On a Pour n grand, le théorème de la limite centrale permet d'approcher la loi de Sn par une loi normale N(m,σ). On rappelle que si la variable aléatoire Y suit la loi normale centrée-réduite N(0,1) la probabilité que -1,96<Y<1,96 est de 95%, la probabilité que Y <1 est de 84% Les valeurs de ces seuils sont arrondies à 10-2 près. On estime la proportion inconnue p par la variable aléatoire

DW test = 1,85 il est dans la zone d’absence d’auto corrélation des erreurs d’ordre 1 Problème de normalité jarque bera loin de 5, skewness loin de 1 et le kurtosis <3 jarque-bera Probabilité= 0, 6274 > 0,05 les erreurs ne suivent pas la loi normale On doit augmenter la taille de l’échantillon. Problème d’hétéro scédasticité (test de white) Heteroskedasticity Test: White F-statistic 0.826427     Prob. F(8,5) 0.6149 Obs*R-squared 7.971451     Prob. Chi-Square(8) 0.4363 Scaled explained

(D ∩ A) et P (D ∩ B). 3. En remarquant que D = (D ∩ A) ∪ (D ∩ B) et que les événements D ∩ A et D ∩ B sont ¯ incompatibles, calculer P (D) et P (D). C. Loi normale Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que X suit la loi normale de moyenne 15 et d’écart-type 3. Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. Calculer la probabilité

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

est par exemple normale, deux paramètres interviennent : m et σ. M2Unité 2 : Estimation par intervalle de confiance de paramètres d’une population 2.1 Estimation par intervalle de confiance de la moyenne d’une population lorsque la variance de la population est connue Le problème est le suivant : il faut encadrer m (moyenne de la population). C'est-à-dire on recherche m1 et m2 telles que : ∃m1, m 2 ∈ ℜ tel les que 1 − α = prob[m1 < m < m 2 ] On suppose que X obéit à une loi normale X ≡ N(m, σ ) avec

1) n 2 Mémento de statistique Table 2 : Variables aléatoires réelles continues Nom et Symbole Densité f X (x ) Support Espérance Variance Fonction caractéristique Loi uniforme U [a, b ] [a, b] [a, b] ⊂ " 1 1 [ a ,b ] ( x ) b−a Loi normale ou de Gauss N (m,σ 2 ) 1 " m ∈ ", σ ∈ "+* Loi gamma G (α , λ ) σ 2π Loi exponentielle exp(λ ) = G (1, λ ) λe "+ λ ∈ "+* n 1 Loi du chi-deux χ n2 = G ,  "+ ème imt − σ 2t 2 2 e x 2 n −1 x2 α α λ λ2 1 1 1 λ λ 1− n 2n 

constante sur un intervalle [a ;b] 4. Loi normale centrée réduite Si la fonction densité de probabilité est une fonction de gauss avec et alors, il s’agit d’une loi normale centrée réduite telle que Rappel : une probabilité précise est impossible ! 5. Loi normale Si la fonction densité de probabilité est une fonction de gauss avec une espérance et un écart type quelconque alors, il s’agit d’une loi normale telle que 6. Inversion de la loi normale Pour connaitre la borne a telle que où